База рефератов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

БИПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-33

Стародубова Н.С.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии

Монахов В. С.

Гомель 2003

Содержание

Введение

1.Основные обозначения

2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами

3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта

4. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп

5. Произведение бипримарной и примарной групп

6. Доказательство теоремы (3)

Заключение

Список литературы

Введение

В данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп.

В третьем пункте данной курсовой работы доказываются следующие теоремы:

Теорема. Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Если подгруппы  и   $IMAGE7$-разложимы для каждого $IMAGE8$, то  разрешима.

Теорема. Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Предположим, что  и  --- $IMAGE7$-замкнуты для каждого $IMAGE17$. Если  и   $IMAGE20$-разложимы и $IMAGE21$-разложимы, то  разрешима.

В четвертом пункте доказазываются приведенные ниже теоремы.

Теорема. Пусть  есть группа Шмидта,  --- 2-разложимая группа, порядки  и  взаимно просты. Если $IMAGE27$ и  --- конечная неразрешимая группа, то $IMAGE29$, $IMAGE30$, $IMAGE31$ и $IMAGE32$ --- простое число $IMAGE33$ или $IMAGE34$ для некоторого простого $IMAGE35$.

Теорема. Пусть  --- группа Шмидта;  --- $IMAGE38$-разложимая группа, где $IMAGE39$. Если $IMAGE40$ и  --- простая группа, то $IMAGE42$, $IMAGE30$ или $IMAGE31$ и $IMAGE32$ --- простое число.

В пятом пункте доказываются следующие теоремы:

Теорема. Пусть конечная группа  является произведением своих подгрупп  и  взаимно простых порядков, и пусть  --- бипримарная группа, а  --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в  есть неединичная циклическая силовская подгруппа $IMAGE52$. Тогда, если  неразрешима, то $IMAGE54$ изоморфна $IMAGE55$ или $IMAGE33$.

Теорема. Пусть неразрешимая группа  является произведением бипримарной подгруппы  и примарной подгруппы . Тогда, если среди силовских подгрупп группы  есть циклическая, то $IMAGE54$ изоморфна одной из следующих групп:

1) $IMAGE62$;

2) $IMAGE63$;

3) $IMAGE64$;

4) $IMAGE65$;

5) $IMAGE66$;

6) $IMAGE67$, где $IMAGE68$ --- силовская 3-подгруппа;

7) $IMAGE69$, порядок  равен $IMAGE71$, а $IMAGE72$.

1. Основные обозначения

 

2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами

Конечная группа называется $IMAGE7$-разложимой для простого числа $IMAGE7$, если силовская $IMAGE7$-подгруппа выделяется в ней прямым множителем. Нильпотентная группа $IMAGE7$-разложима для каждого $IMAGE7$. Через $IMAGE102$ обозначается множество всех простых делителей порядка группы $IMAGE103$.

Теорема Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Если подгруппы  и   $IMAGE7$-разложимы для каждого $IMAGE8$, то  разрешима.

Теорема (1) обобщает известную теорему Виландта-Кегеля о разрешимости конечной группы, являющейся произведением нильпотентных подгрупп [??].

Для доказательства теоремы (2) нам потребуется следующая лемма(3), которая несколько уточняет лемму Кегеля(4). Напомним, что $IMAGE113$ --- центр $IMAGE103$, а если $IMAGE115$ --- подгруппа группы $IMAGE103$, то $IMAGE117$ --- наименьшая нормальная в $IMAGE103$ подгруппа, содержащая $IMAGE115$. Группа $IMAGE103$ называется $IMAGE7$-замкнутой, если в ней силовская $IMAGE7$-подгруппа $IMAGE123$ нормальна.

Лемма Пусть  и  --- подгруппы конечной группы , обладающие следующими свойствами:

1) $IMAGE127$ для всех $IMAGE128$;

2) $IMAGE129$, где $IMAGE130$.

Тогда $IMAGE131$.

Доказательство. Воспользуемся методом доказательства леммы Кегеля. Пусть $IMAGE132$ --- наибольшая $IMAGE38$-подгруппа, содержащая  и перестановочная с каждой подгруппой, сопряженной с . Предположим, что $IMAGE136$ не содержится в $IMAGE137$. Это означает, что существуют элементы $IMAGE128$ и $IMAGE139$ такие, что $IMAGE140$ не принадлежит $IMAGE137$. Поэтому $IMAGE132$ --- собственная подгруппа в $IMAGE143$ и $IMAGE144$ есть $IMAGE38$-группа. Кроме того, $IMAGE146$ перестановочна с каждой сопряженной с  подгруппой, так как этим свойством обладает $IMAGE132$. Теперь $IMAGE149$ для всех $IMAGE128$, что противоречит выбору $IMAGE132$.

Итак, $IMAGE152$. Значит, $IMAGE153$ и $IMAGE154$ --- нормальная в $IMAGE155$  $IMAGE38$-подгруппа. Из условия 2) следует, что $IMAGE157$ и $IMAGE158$. Так как $IMAGE159$ и $IMAGE160$, то $IMAGE161$. Поэтому $IMAGE131$.

Лемма Пусть конечная группа  с $IMAGE7$-замкнутыми подгруппами  и . Если $IMAGE167$, то $IMAGE168$.

Доказательство. Так как $IMAGE169$, то $IMAGE170$ для всех $IMAGE171$, $IMAGE172$. Первое условие леммы (5) выполнено. Так как выполняется и второе, то $IMAGE168$.

 Секцией группы $IMAGE103$ называется фактор-группа некоторой подгруппы из $IMAGE103$. Если $IMAGE103$ не содержит секций, изоморфных симметрической группе $IMAGE177$ четырех символов, то $IMAGE103$ называется $IMAGE177$-свободной.

Лемма Если конечная группа  не является $IMAGE177$-свободной, то существуют $IMAGE182$-подгруппы $IMAGE75$ и $IMAGE184$ такие, что $IMAGE184$ нормальна в $IMAGE75$ и $IMAGE187$.

Доказательство. По условию в группе  существует секция $IMAGE189$, изоморфная $IMAGE177$. Пусть $IMAGE191$ --- нормальная в  подгруппа индекса $IMAGE193$, содержащая подгруппу  с индексом $IMAGE195$. По лемме Фраттини $IMAGE196$, где $IMAGE197$ --- силовская $IMAGE20$-подгруппа из , Так как $IMAGE197$ имеет индекс $IMAGE20$ в силовской $IMAGE20$-подгруппе из , то $IMAGE204$ разрешима и содержит $IMAGE182$-холловскую подгруппу $IMAGE75$. Кроме того, $IMAGE207$ и $IMAGE208$.

Лемма Конечная группа, содержащая нильпотентную $IMAGE182$-холловскую подгруппу, $IMAGE21$-разрешима.

Доказательство. Достаточно показать непростоту группы  в случае, когда $IMAGE21$ делит $IMAGE213$. Предположим, что  простая и $IMAGE21$ делит $IMAGE213$. В $IMAGE177$-свободных группах нет нильпотентных $IMAGE182$-холловских подгрупп [??], отличных от $IMAGE20$-силовской. Если  не $IMAGE177$-свободна, то по лемме (??) существует ненильпотентная $IMAGE182$-подгруппа. Это противоречит теореме Виландта [??]. Лемма доказана.

Через $IMAGE223$ обозначим произведение всех разрешимых нормальных в  подгрупп.

Лемма Пусть конечная группа  и пусть  разрешима, а $IMAGE227$ взаимно прост с $IMAGE193$. Если в  существует нилъпотентная $IMAGE182$-холловская подгруппа, то  разрешима.

Доказательство. Если  --- $IMAGE233$-группа, то  разрешима по лемме Сыскина(2). Пусть $IMAGE21$ делит $IMAGE213$ и $IMAGE87$ --- минимальная нормальная в  подгруппа. Если $IMAGE239$, то $IMAGE240$ и $IMAGE241$ разрешима по индукции, поэтому разрешима и $IMAGE87$. Пусть $IMAGE243$. Тогда $IMAGE244$ и $IMAGE85$ имеет порядок взаимно простой с $IMAGE193$. Значит нильпотентная $IMAGE182$-холловская подгруппа из  содержится в $IMAGE87$ и $IMAGE87$  $IMAGE21$-разрешима по лемме(2). Из минимальности $IMAGE87$ следует, что $IMAGE87$ разрешима. Итак, в любом случае  содержит разрешимую нормальную подгруппу $IMAGE87$. Фактор-группа $IMAGE85$ удовлетворяет условиям леммы и по индукции разрешима. Поэтому разрешима и . Лемма доказана.

Теорема (??) вытекает из следующей более общей теоремы

Теорема Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Предположим, что  и  --- $IMAGE7$-замкнуты для каждого $IMAGE17$. Если  и   $IMAGE20$-разложимы и $IMAGE21$-разложимы, то  разрешима.

Доказательство индукцией по порядку . Пусть $IMAGE87$ --- минимальная нормальная в  подгруппа. Фактор-группа $IMAGE274$, а подгруппы $IMAGE275$ и $IMAGE276$ будут $IMAGE20$- и $IMAGE21$-разложимыми и $IMAGE7$-замкнутыми для каждого $IMAGE280$. По индукции $IMAGE85$ разрешима, а $IMAGE87$ неразрешима. Поэтому $IMAGE283$ и $IMAGE284$. Следовательно, в  единственная минимальная нормальная подгруппа.

Пусть $IMAGE17$ и пусть $IMAGE287$ и $IMAGE288$ --- силовские $IMAGE7$-подгруппы из  и  соответственно. Так как  и  р-замкнуты и $IMAGE283$, то $IMAGE168$ по лемме (??). Но  содержит точно одну минимальную нормальную подгруппу. Поэтому либо $IMAGE297$, либо $IMAGE298$. Итак для каждого $IMAGE7$, либо $IMAGE7$ не делит $IMAGE301$, либо $IMAGE7$ не делит $IMAGE227$. Следовательно, порядки  и  взаимно просты. Но теперь $IMAGE306$ --- простая группа.

Так как группа Судзуки $IMAGE307$ нефакторизуема(4), то по теореме Глаубермана (4)порядок  делится на $IMAGE21$, а по теореме Фомина (2) порядок одного из факторов, пусть порядок , делится на $IMAGE193$. Теперь в  существует нильпотентная $IMAGE182$-холловская подгруппа. По лемме (3)группа  разрешима. Теорема доказана.

3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта

Пусть конечная группа  является произведением двух своих подгрупп  и , причем  есть группа Шмидта, т. е. ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Признаки разрешимости группы  при дополнительных ограничениях на подгруппы  и  получили Б. Хупперт(2), В. А. Ведерников(4), И. П. Докторов(4), П. И. Трофимов(3). Если  дедекиндова, т. е. в  все подгруппы инвариантны, то простая группа  описана автором в(5). Как сообщил недавно С. А. Сыскин, им изучена простая группа  в случае, когда  --- нильпотентная группа.

Основным результатом настоящей заметки является

Теорема Пусть  есть группа Шмидта,  --- 2-разложимая группа, порядки  и  взаимно просты. Если $IMAGE27$ и  --- конечная неразрешимая группа, то $IMAGE29$, $IMAGE30$, $IMAGE31$ и $IMAGE32$ --- простое число $IMAGE33$ или $IMAGE34$ для некоторого простого $IMAGE35$.

$IMAGE340$ обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в