База рефератов

Билет № 3

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

2. Объем призмы.

1.Три случая расположения прямой и плоскости.

1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку a ÈA

2.Прямая лежит в плоскости  а значит имеет с ней 2 общие точки.

1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е.a÷ï a

2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Д-во:  Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА₁В₁С₁с объемом V  и высотой h.

Проведем такую высоту ∆АВС (ВD) кот. разделит этот ∆на 2 ∆. Поскольку ВВ₁D разделяют данную призму на 2 призмы , основания кот является прямоугольный ∆ABD и ВСD. Плэтому  объем V₁ и V₂ соответственно равны S_ABD ·h и S_ВСD ·h. По св-ву 2⁰ объемов V=V₁+V₂ т.е           V= S_ABD ·h+ S_ВСD ·h= (S_ABD+ S_ВСD) h. Т.о. V=S_АВС·h

Д-во Возьмем  произвольную прямую призму с высотой h и площадью основания S. Такую

призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению Sh. Теорема доказана.

                                               Рассмотрим случай , когда призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как S_пол = ^1//₂ ab то S_∆=ab =>V_∆= Sh ч.т.д.

Билет №5

1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)

2. Объем цилиндра.

1.Рассмотрим пл α и т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А прямую,^ к пл α, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл α .Отрезок АН называется, ^ проведенным из

т А к пл α, a т Н — основанием ^. Отметим в пл α   какую-нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он называется наклонной, про-вед из т А к пл α , а т М — основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл α. Сравним ^ АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ∆АМН сторона АН — катет, а сторона AM - гипотенуза, поэтому АН<АМ. Итак, ^, проведенный аз данной т к пл, меньше любой наклонной, проведенной из той же т к этой пл.

=> из всех расстояний от т А до различных т пл α наименьшим является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина ^, проведенного из т А к пл α , называется расстоянием от т A до пл α

Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму F_n а в

эту призму впишем цилиндр Р_п . Обозначим через V и V_n объемы цилиндров Р и Р_п, через r_п — радиус цилиндра Р_п. Так как объем призмы  F_n  равен S_nh, где S_n- площадь  основания  призмы, а цилиндр Р содержит призму F_n , кот в свою очередь , содержит цилиндр Р_{п ,} то V_n<S_nh<V. Будем неограниченно увеличивать число n. При этом  радиус r_п  цилиндра Р_п стремиться  к радиусу r цилиндра Р(r_п=rcos180/n®r при r→∞). Поэтому V  цилиндра Р_п стремиться  к объему цилиндра Р: limV_n=V. Из равенства (V_n<S_nh<V) =>, что

                                                                n→∞

limS_nh=V. Но limS_n=πr² Т.о V=πr²h. т.к πr²=S  , то получим V=S_оснh.

                                                                                       n→∞                                n→∞                                                        

Билет № 6

1. Расстояние  между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)

2. Объем конуса.

Расстояние  между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью , проходящей через другую  прямую  параллельную первой , называется расстояни6е между скрещивающимися прямыми.

Если две прямые скрещиваются то через каждую из них проходит плоскость  параллельная другой  прямой , и при том только одна.

2 Теорема. Объем конуса равен одной  трети произведения площади основания на высоту.

Д-во Рассмотрим конус  с объемом V, радиусом  основания R, высо-той h  и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ). Произвольное сечение  конуса пл. , ^ к оси Ох  , является кругом  с центром в т М₁  пересе-чения  этой пл. с осью Ох. Обозначим  радиус  через R₁ ,а S  сечения через  S(х) , где х – абсцисса т М₁ . Из подобия  прямоугольных ∆ ОМ₁А₁ и ОМА=> что

Применяя основную формулу для  вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим

Площадь S основания  конуса равна pR², поэтому V=¹/₃Sh.

Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь оснований S и S₁вычисляется по формуле       V=¹/₃h(S·S₁+√ S·S₁).

Билет №7

1. Угол между скрещивающимися прямыми

2. Площадь боковой поверхности  цилиндра.

1. Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые . Возьмем  произвольную т. М₁ пространства  и проведем  через нее прямые А₁В₁ и С₁D₁ , соответственно параллельн АВ и СD

Если ∠ между прямыми А₁В₁ и С₁D₁ =φ, то  будем говорить , что ∠ между скрещивающимися  прямыми АВ и СD=φ. Докажем теперь, что ∠ между прямыми не зависит от выбора т. М₁ . Действительно , возьмем любую т. М₂  и проведем прямые А₂В₂и С₂D₂  соответственно парал. АВ и СD Т.к А₁В₁∥ А₂D₂ , С₁D₁∥ C₂D₂ , то стороны углов  с вершинами в т.М₁и М₂ попарно сонаправлены ( ∠А₁М₁С₁ и ∠А₂М₂С₂ , ∠А₁М₁D₁ и∠А₂М₂D₂ ) потому эти ∠  равны , ⇒  что ∠ между А₂В₂и С₂D₂ так же =φ. В качестве т М можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых . Например на СD   отметить т М и через нее провести А'B' параллельные АВ .Угол  между прямыми  A'B'и CD= φ

2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны окружности основания на высоту

Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и  развернем т.о , что все образующие оказались в одной плоскости α . В результате  в пл α  получится прямоугольник  АВВ'А' . Стороны АВ и А'В' –два края разреза  боковой поверхности  цилиндра  по образующей АВ . Это прямоугольник называется разверткой  боковой поверхности  цилиндра . основание АА' прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра , поэтому АА'=2πr , AB-h, где г- радиус  цилиндра , h- его высота . за  S _бок цилиндра принято считать S её развертки . Т.к  S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА = 2πr•h то, для  вычисления  S бок цилиндра  радиуса к и высоты h формула

S _бок=2πrh

Билет № 9

1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)

2.  Сложение векторов. Свойства сложения.

2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А вектор АВ равный а. Затем от т В  отложим ВС=b . Вектор АС называется суммой векторов а и b : АС=a+b.

Это правило сложения векторов называется правилом  треугольника. (по этому же правилу  складываются и коллинеарные векторы , хотя при их сложении треугольника не получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А, от которой при сложении  откладывается вектор а. (если например заменить т А на т А₁ то вектор АС заменится равным ему  вектором А₁С₁Привило треугольника можно сформулировать и в другой форме: для любых точек А,В,и С имеет место равенство АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных векторов можно пользоваться так же правилом параллелограмма. Для любых векторов а, b и с справ