Антагонистические игры, которые мы изучали ранее, описывают конфликты весьма частного вида. Более того, для большинства имеющих место в реальной жизни конфликтов антагонистические игры либо вовсе не могут считаться приемлемыми, адекватными описаниями, либо, в лучшем случае, могут рассматриваться как первые грубые приближения.
Во-первых, антагонистические игры никак не затрагивают своими описаниями конфликты с числом строк, большим чем два. В месте с тем, такие многосторонние конфликты не только встречаются в действительности, но являются принципиально более сложными, чем конфликты с двумя участниками, и даже не поддаются сведению к последним.
Во-вторых, даже в конфликтах с двумя участниками интересы сторон вовсе не обязаны быть противоположными; во многих конфликтах такого рода случается так, что одна из ситуаций оказывается предпочтительнее другой для обоих участников.
В-третьих, даже если любые две ситуации сравниваются игроками по их предпочтительности противоположным образом, различие разностей в оценках этой предпочтительности оставляет место для соглашений, компромисов и коопераций.
Наконец, в-четвёртых, содержательная острота конфликта не обязательно соответствует его формальной антагонистичности. Например, при встрече двух боевых единиц воюющих сторон (скажем, танков) обоюдное их стремление уничтожить друг друга не выражает антогонистичности конфликта: в антогонистическом конфликте цели сторон оказываются строго противоположными, и стремлению одной стороны уничтожить другую противоположным будет стремление избежать уничтожения.
В качестве примера БАИ рассмотрим:
1. Игры двух лиц с произвольной суммой.Бескоалиционные игры.
В конечной бескоалиционной игре двух игроков (КБИДИ)каждый из них делает один ход – выбирает одну стратегию из имеющегося у него конечного числа стратегий, и после этого он получает свой выигрыш согласно определённым для каждого из них матрицами выигрышей. Другими словами КБИДИ полностью определяется двумя матрицами выигрышей для двух игроков. Поэтому такие игры называются биматричными. Пусть у игрока 1 имеется m стратегий, i = , у игрока 2 имеется n стратегий, j = . Выигрыши игроков 1 и 2 соответственно задаются матрицами
А = ,   В = 
Будем по-прежнему считать полный набор вероятностей  x = (x1, ..., xm) применения 1 игроком своих чистых стратегий смешанной стратегией игрока 1, и у = (y1, ..., yn) – смешанной стратегией игрока 2. тогда средние выигрыши игроков 1 и 2 соответственно равны
                   
Ситуация равновесия для биматричной игры составляет пару (x,y) таких смешанных стратегий игроков 1 и 2, которые удовлетворяют неравенствам :
 
или
 
Для определения ситуаций равновесия необходимо решить систему неравенств (1) и (2)  (  и ) относительно неизвестных x = (x1, ..., xm)  и  у = (y1, ..., yn) при условиях
 ,   ,   xi ³ 0   (i = ),   yj ³ 0   (j = ).
Теорема (Нэша). Каждая биматричная игра имеет по крайней мере одну ситуацию равновесия.
В качестве примера рассмотрим случай, когда каждый игрок имеет две чистые стратегии. В этом случае матрицы A и B равны :
A = ,   B = .
Смешанные стратегии для игроков 1 и 2 имеют вид :
(x, 1– x),    (y, 1– y)          0 £ x £ 1;   0 £ y £ 1,
а средние выигрыши равны :
E1(A,x,y) = xA  = (x; 1- x)  =
= (a11 – a12 – a21 + a22) xy + (a12 - a22) x + (a21 - a22) y + a22.
E2(B,x,y) = xB  = (x; 1- x)  =
= (b11 - b12 - b21 + b22) xy + (b12 - b22) x + (b21 - b22) y + b22.
Условия  и  будут выглядеть
   £  E1(A,x,y),
(x; 1- x)  £  E2(B,x,y),
или
                      
                     
Преобразовав (3) и (4), получим
 (1- x) y +  (1- x) £ 0
(a11 - a12 - a21 + a22) xy + (a12 - a22) x ³ 0
или
 
Т. о., множество всех приемлемых стратегий для игрока 1 удовлетворяет условиям (5) и (6),  0 £ x £ 1;  0 £ y £ 1. Чтобы найти x рассмотрим 3 случая :
1.   Если x = 0, то (6) справедливо " y, а (5) имеет вид :
a1y - a2 £ 0.                                      
2.   Если x = 1, то (5) справедливо " y, а (6) имеет вид :
a1y - a2 ³ 0.                                      
3.   Если 0 < x < 1, то (5) разделим на (1 - x), а (6) – на  x  и получим
         
Итак, множество К решений системы (5) – (6) состоит из
всех ситуаций вида (0; y), если  a1y - a2 £ 0;  0 £ y £ 1;
всех ситуаций вида (x; y), если  a1y - a2 = 0;  0 < x < 1;
всех ситуаций вида (1; y), если  a1y - a2 ³ 0;  0 £ y £ 1.
Если  a1 = a2 = 0, то решением является  xÎ[0; 1],  yÎ[0; 1],  т. к. все неравенства    (7) – (8) выполняются при всех  x и y,  т. е. множество приемлемых для игрока 1 ситуаций покрывает весь единичный квадрат.
Если  a1 = 0,  a2 ¹ 0,  то выполняется либо (7), либо (8), и поэтому решением является либо  x = 0, либо x=1  при  0 £ y £ 1 (приемлемой стратегии в игре не существует).
Если  a1 > 0,  то из (7) получаем решение
x = 0;  y £ := a,
Из (8) следует ещё решение  x = 1,  y ³ a,  из (9) следует ещё решение
0 < x < 1,   y = a.
Если a1 < 0, то решение следующее :
x = 0,  y ³ a;  x = 1,  y £ a;  0 < x < 1,  y = a.
При этом необходимо учитывать, что дополнительно должно быть
0 £ y £ 1.
Геометрически это выглядит следующим образом :
                 y                   ¥                            y                  ¥                           y                   ¥ 
            1                                                 1                                                1
                                       a1>0                                           a1>0                                           a1>0
                                       a<0                                            a=0                                           1< a<1
                                                                                                                           (x, a)
           0                        1           x          0                       1            x           0                      1           x
                 – ¥                                             – ¥                                             – ¥
          y                   ¥                           y                                                  y
                                                                               ¥                          ¥
  1                         a1>0                 1                        a1>0                 1                         a1< 0
            (x, 1)         a=1                                           a >1                          (x, a)        0< a<1
                                                          (0, b)
                                       x                                                 x                                                  x
  0   – ¥              1                        0   – ¥              1                       0               – ¥   1
Для игрока 2 исследования аналогичны. Если ввести обозначения
b1 := b11 - b12 - b21 + b22
b2 := b22 - 
то множество L приемлемых для него ситуаций состоит из :
всех ситуаций вида (x, 0), если  b1x - b2 < 0; 0 £ x £ 1,
всех ситуаций вида (x, y), если  b1x - b2 = 0; 0 £ x £ 1; 0 < y < 1,
всех ситуаций вида (x, 1), если  b1x - b2 > 0; 0 £ x £ 1.
Результаты следующие :
если  b1 = b2 = 0, то решение 0 £ x £ 1; 0 £ y £ 1;
если  b1 = 0; b2 ¹ 0, то решение либо y = 0, либо y = 1 при 0 £ x £ 1 (приемлемой стратегии в игре не существует);
если  b1 > 0, то решения следующие :
y = 0,  x < = b;  y = 1,  x > b;  0 < y < 1;  x = b;
если  b1 < 0, то решения следующие :
y = 0,  x > b;  y = 1,  x < b;  0 < y < 1;  x = b
При этом необходимо учитывать, что 0 £ x £ 1.
                  y                                                                           y
           1                                                                      1
                (b,y)                                                                    (b,y)
                                                  x                                                                           x
           0                    1                                                     0                    1
                    b1 > 0                                                                     b1 < 0
                  0 < b < 1                                                               0 < b < 1
Решением игры является пересечение множеств K и L, т.е. те значения  x и y, которые являются общими для множеств K и L.
                      y                                                                          y
                 1                                                                     1
   
5 + 2 + 1 + 1 = 9 >
Так как b1 >