Содержание:
Аннотация
Исходные данные
1. Применение основных теорем динамики механической системы
1.1 Постановка второй основной задачи динамики системы
1.2 Определение закона движения системы
1.3 Определение реакций внешних и внутренних связей
2. Построение алгоритма вычислений
3. Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнений Лагранжа второго рода.
3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа.
Анализ результатов
Аннотация
Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых растяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена внешней упругой связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления 
и возмущающая гармоническая сила 
. Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определен закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведен численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.
Исходные данные:
|  |  |  |
| $IMAGE6$ | $IMAGE7$ | |
| $IMAGE9$ | $IMAGE10$ | $IMAGE11$ |
| $IMAGE12$ | m = 1 кг | $IMAGE13$ |
| $IMAGE14$ | r = 0.1 м | с = 4000 H/м |
| $IMAGE15$ | | |
Часть 1. Применение основных теорем динамики механической системы
1.1 Постановка второй основной задачи динамики системы.
Расчетная схема представлена на рисунке 1.
Здесь обозначено:
$IMAGE17$; $IMAGE18$; $IMAGE19$ - силы тяжести;
$IMAGE20$ - нормальная реакция опорной плоскости;
$IMAGE21$ - сила сцепления;
$IMAGE22$ - упругая реакция пружины;
$IMAGE23$ - реакция подшипников;
$IMAGE24$ - сила вязкого сопротивления;
$IMAGE25$- возмущающая сила.
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка (3) происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза (1).
Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:
$IMAGE26$
$IMAGE27$ - сумма мощностей внешних сил;
$IMAGE28$ - сумма мощностей внутренних сил;
Тогда кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел,
(1.2) $IMAGE29$
(1.3) Груз (1) совершает поступательное движение, $IMAGE30$ $IMAGE31$;
(1.4) Блок (2) совершает вращательное движение, $IMAGE30$ $IMAGE33$, где $IMAGE34$
(1.5) Каток (3) совершает плоскопараллельное движение, $IMAGE30$ $IMAGE36$, где $IMAGE37$
Кинетическая энергия всего механизма равна:
(1.6) $IMAGE38$;
Выразим – через скорость груза (1)
$IMAGE39$ $IMAGE40$ $IMAGE41$
(1.7) $IMAGE42$; $IMAGE43$;
Подставляя кинематические соотношения (1.7) в выражение (1.6), получаем:
(1.8) $IMAGE44$
(1.9) $IMAGE45$
$IMAGE46$;
Найдем производную от кинетической энергии по времени:
(1.10) $IMAGE47$
Вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил. Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость в точке ее приложения;
(1.11) $IMAGE48$
Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:
(1.12) $IMAGE28$= 0;
Будут равняться нулю и мощности следующих внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю:
$IMAGE50$
Сумма мощностей остальных внешних сил:
(1.13) $IMAGE51$
С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил определим:
(1.14) $IMAGE52$
где $IMAGE53$приведенная сила.
Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины, которое равно сумме статического $IMAGE54$и динамического $IMAGE55$ удлинений:
(1.15) $IMAGE56$
Сила вязкого сопротивления $IMAGE57$, тогда
(1.16) $IMAGE58$
В состоянии покоя системы приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.16) S=0, $IMAGE59$=0 и F(t)=0, получаем условие равновесия системы:
(1.17) $IMAGE60$
Отсюда статическое удлинение пружины равно:
(1.18) $IMAGE61$
Подставляя (1.18) в (1.16), получаем окончательное выражение для приведенной силы:
(1.19) $IMAGE62$
Подставив выражения для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1.19) в (1.1), получаем дифференциальное уравнение движения системы:
(1.20) $IMAGE63$
(1.21) $IMAGE64$
где k циклическая частота свободных колебаний;
$IMAGE65$
n – показатель степени затухания колебаний;
$IMAGE66$
1.2 Определение закона движения системы
Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.20). общее решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного уравнения $IMAGE67$ и частного решения неоднородного $IMAGE68$:
S = $IMAGE68$+ $IMAGE67$;
Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид: $IMAGE71$
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
$IMAGE72$
т.к. n < k => решение однородного уравнения имеет вид:
$IMAGE73$
где $IMAGE74$ частное решение дифференциального уравнения ищем в виде правой части: $IMAGE75$
$IMAGE76$ далее получаем:
$IMAGE77$
Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения состояния А и В
$IMAGE78$
Решая эту систему получаем следующие выражения:
$IMAGE79$ А = 0.04 м;
$IMAGE80$ В = - 0.008 м;
Общее решение дифференциального уравнения:
$IMAGE81$
Постоянные интегрирования $IMAGE82$определяем из начальных условий, при t = 0 имеем:
$IMAGE83$
Решая эту систему получаем:
$IMAGE84$ $IMAGE85$
$IMAGE86$ $IMAGE87$
1.3 Определение реакций внешних и внутренних связей
Для решения этой задачи расчленим механизм на отдельные части и изобразим расчетные схемы отдельно для каждого тела. Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетического момента и теоремы об изменении количества движения.
Тело №1: $IMAGE88$ $IMAGE89$
Тело №2: $IMAGE90$
Тело №3: $IMAGE91$ $IMAGE92$
C учётом кинематических соотношений (1.7) полученную систему уравнений преобразуем к вид:
$IMAGE93$
Решая эту систему, получаем выражение для определения реакций связей:
$IMAGE94$
$IMAGE95$
2. Построение алгоритма вычислений:
(2.1) Исходные данные:
$IMAGE96$
(2.2) Вычисление констант:
$IMAGE97$
$IMAGE98$
$IMAGE61$
$IMAGE79$
$IMAGE80$
$IMAGE84$
$IMAGE86$
(2.3) Задание начального времени: t=0;
(2.4) Вычисление значений функций в момент времени t=0;
$IMAGE81$
$IMAGE105$
$IMAGE106$
(2.5) Вычисление реакций связей:
$IMAGE107$
$IMAGE95$
$IMAGE109$
(2.6) Вывод на печать значений искомых функций в момент времени t;
(2.7) Определение значения времени на следующем шаге $IMAGE110$
(2.8) Проверка условия окончания цикла: $IMAGE111$
(2.9) Возврат к пункту (2.4).
3. Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнения Лагранжа второго рода
3.1 Применение принципа Даламбера-Лагранжа
Общее уравнение динамике системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа.
$IMAGE112$
сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;
$IMAGE113$ сумма элементарных работ всех инерции сил на возможном перемещении системы.
Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.3)
Идеальные связи: $IMAGE114$
Не учитываем, и не отображаем на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна 0.
Сообщим системе возможное перемещение.
$IMAGE115$
Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя получим:
(2) $IMAGE116$
Найдём возможную работу сил инерции:
$IMAGE117$
Запишем выражение для главных векторов и главных моментов сил инерции;
$IMAGE118$
Используя кинематические соотношения (1.7), определим:
$IMAGE119$
Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду:
$IMAGE120$
(3) $IMAGE121$
Далее подставляя выражения (2) и (3) в (1), т.е в общее уравнение динамики получаем
$IMAGE122$
Поделив это уравнение на $IMAGE123$, получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:
$IMAGE124$
Анализ результатов
В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты $IMAGE125$, n, k получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t. На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей.