Вторник, 18 Июн 2024, 10:03
Uchi.ucoz.ru
Меню сайта
Форма входа

Категории раздела
Высшая математика [11]
Экономическая социология [95]
Основы Менеджмента [64]
Бухгалтерский учёт [157]
Философия [163]
Мировая Экономика [603]
Бизнес планирование [29]
Финансирование и кредитование инвест [105]
Ценообразование [46]
Гражданское право [196]
Права Человека [173]
Основы Маркетинга [207]
Основы энергосбережения [55]
Информатика [0]
Экология и устойчивое развитие [0]
Физика для студентов [0]
Основы права [0]
Политология [0]
Не стандартные примеры на Delphi [169]
Примеры на Delphi7 [108]
Алгоритмы [94]
API [110]
Pascal [152]
Базы Данных [6]
Новости
Чего не хватает сайту?
500
Статистика
Зарегистрировано на сайте:
Всего: 51637


Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Яндекс.Метрика
Рейтинг@Mail.ru

Каталог статей


Главная » Статьи » Студентам » Высшая математика

Высшая математика / Лекция N 7. Геометрический смысл дифференциала.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy=f'(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f'(x) , а dx = Δx от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y: d(dy)=d2y.

Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому

d2y = d(dy) = d[f '(x)dx)] = [f '(x)dx]'dx = f ''(x)dx·dx = f ''(x)(dx)2.

Принято записывать (dx)2 = dx2. Итак, d2у= f''(x)dx2.

Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:

d3y=d(d2y)=[f ''(x)dx2]'dx=f '''(x)dx3.

Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: dn(y)=d(dn-1y)dny = f (n)(x)dxn

Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением, которое символически запишем так: F(x, y) = 0. (1)

Если на некотором множестве D каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, которое вместе с x удовлетворяет уравнению (1), то будем говорить, что это уравнение задает неявную функцию y=f(x).

Из определения следует, что для любой неявной функции y=f(x), заданной уравнением (1), имеет место тождество F(x, f(x)) ≡ 0, справедливое при всех x Î D.

Например, уравнение x2 + y2 – a2 = 0 неявно определяет две элементарные функции . Действительно, после подстановки в исходное уравнение этих значений получим равенство x2+(a2–x2) – a2 = 0.

Однако, не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т.е. в виде y=f(x).

Например, функции, заданные уравнениями y2– y – x2=0 или , не выражаются через элементарные функции, т.е. эти уравнения нельзя разрешить относительно y.

Заметим, что каждая явная функция y=f(x) может быть представлена и как неявная y–f(x) = 0.

Таким образом, неявная функция – это определенный способ задания зависимости между переменными x и y.

Рассмотрим правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, т.е. не представляя в виде y=f(x).

Чтобы найти производную у' неявной функции F(x, y)=0, нужно обе части этого уравнения продифференцировать по x, рассматривая у как функцию от x, и из этого полученного уравнения найти искомую производную y'. Чтобы найти y'', нужно уравнение F(x, y)=0 дважды продифференцировать по x и выразить y'' и т.д.

Примеры. Найти производные функций заданных неявно.

Итак, производная неявной функции выражается, как правило, не только через аргумент, но и через функцию.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ,

ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Пусть даны два уравненияx=x(t),y=y(t), где t Î [T1, T2]. (1)

Каждому значению t из [T1, T2] соответствуют определенные значения x и y. Если рассматривать значения x и y как координаты точки на плоскости xOy, то каждому значению t будет соответствовать определенная точка плоскости. Когда t изменяется от T1 до T2, эта точка на плоскости описывает некоторую кривую. Уравнения (1) называются параметрическими уравнениями этой кривой, t называется параметром, а способ задания кривой уравнениями (1) называется параметрическим.

Предположим, что функция x=x(t) имеет обратную t=t(x). Тогда, очевидно, у является функцией от x: y=y[t(x)]. Следовательно, уравнения (1) определяют y как функцию от x, и говорят, что функция y от x задается параметрически.

При рассмотрении функций, заданных параметрически, исключение параметра не всегда возможно. Во многих случаях удобнее задавать различные значения t и затем вычислять соответствующие значения аргумента x и функции y.

Пример. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями:

Построим эту кривую на плоскости, придавая различные значения параметру t и находя соответствующие значения х и у.

При t =0 M(R, 0).

Таким образом, получаем окружность с центром в начале координат, радиуса R. Здесь t обозначает угол, образованный радиусом, проведенным в некоторую точку окружности М(x, y), и осью Ox.

Если исключим из этих уравнений параметр t, то получим уравнение окружности, содержащее только x и y. Возводя в квадрат параметрические уравнения и складывая их, находим:

x2+ y2=R2(cos2t + sin2t) или x2+ y2=R2.

Выведем правило нахождения производных функций, заданных параметрически. Пусть x=x(t), y=y(t), причем на некотором отрезке [T1, T2] функции x(t) и y(t) дифференцируемы и x' ≠ 0.

Т.к. у – функция, зависящая от переменной x, то будем считать, что функция x=x(t) имеет обратную t=t(x).

Будем обозначать: yx' – производная функции по переменной x, yt', xt', tx' – соответственно производные по t и х.

Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, получим . Производную tx' найдем по правилу дифференцирования обратной функции .

Окончательно, .

Итак,

Полученную функцию можно рассматривать как функцию, заданную параметрически: .

Используя эту формулу, можно находить и производные высших порядков функций, заданных параметрически. Найдем . По определению второй производной . Учитывая, что yx' есть функция параметра t, yx'=f(t), получаем:

Примеры.
, y = arcsin (t–1). Найдем .

Следовательно, .
Найти угловой коэффициент касательной к циклоиде x = a·(t – sin t), y = a·(1 – cost)

в произвольной точке (0 ≤t≤ 2·π).

Угловой коэффициент касательной .

x' = a·(1 – cost) ,y' = a·sin t. Поэтому .


Найти .

УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ К КРИВОЙ

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M(x0, y0), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Oy.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k= f'(x0), то получаем уравнение y= f'(x0)·x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x0, y0). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y0= f'(x0)·x0 + b. Отсюда b=y0– f'(x0)·x0.

Таким образом, получаем уравнение касательной y= f'(x0)·x +y0 – f'(x0)·x0 илиy = f '(x0)·(x – x0) + f(x0)

Если касательная, проходящая через точку М(x0,y0) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x0.

Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль.

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.

Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент kn связан с угловым коэффициентом касательной k равенством:

.

Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M(x0, y0), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид:

Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е.f'(x0) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y0, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет вид x= x0.

Примеры.
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = tg2x в точке с абсциссой x0=π/4.

Уравнение касательной имеет вид y =4·(x – π/4) + 1 или y = 4x – π + 1.

Уравнение нормали будет y = –1/4·(x – π/4) + 1 или у = –1/4·x + π/16 + 1.
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = 0.5·(x – 2)2 + 5 в точке M(2; 5).

y'= x – 2, y'(2) = 0 . Следовательно, касательная параллельна оси Ox, а значит ее уравнение y= 5 . Тогда нормаль параллельна оси Oy и имеет уравнение x= 2 .
Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу в точке M(2; 3).

Найдем y' по правилу дифференцирования неявной функции .

Уравнение касательной: ,т.е. .

Уравнение нормали: , т.е. .
Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде x= t – sin t, y= 1 – cos tв точке М(x0; y0), которая соответствует значению параметра t = π/2.

При t=π/2x0= π/2 – 1, y0=1.

.

Уравнение касательной: y = x – π/2 + 1 + 1, т.е. у = x – π/2 + 2.

Уравнение нормали: y = – x – π/2 – 1 + 1, т.е. у = – x – π/2.

ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка (т.е. на (а; b)) и на концах отрезка обращается в нуль f(a) = f(b) = 0, то на (a; b) найдется хотя бы одна точка c Î (a; b), в которой f'© = 0.

Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a; b], то по одной из теорем о непрерывных функциях она достигает на этом отрезке наибольшего значения и наименьшего. Пусть

Заметим, что если М = m, то f(x) = const = 0 (по условию теоремы f(a)=f(b)=0) и, следовательно, f'(x)=0при всех x Î [a; b] .

Предположим, что M≠m, тогда, по крайней мере, одно из этих чисел отлично от нуля. Для определенности будем считать, что М ≠0 и М > 0.

Пусть в точке x = c f©=М, при этом c≠a и с ≠ b, т.к. f(a)=f(b)=0. Придадим значению c приращение Δx и рассмотрим новую точку c+Δx. Поскольку f© – наибольшее значение функции, то f(c+Δx) – f©≤0 для любого Δx. Отсюда следует, что

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→0 и учитывая, что производная при x = c существует, будем иметь:

Но неравенства f'© ≤ 0 и f'© ≥ 0 одновременно возможны лишь в случае, когда

f'©=0. Теорема доказана.
Эта теорема имеет простой геометрический смысл. Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ox в точках x=a и x=b, то на этой кривой найдется хотя бы одна точка с абсциссой c, a < c < b, в которой касательная параллельна оси Ox.

Заметим, что доказанная теорема останется справедливой, если предположить, что на концах отрезка функция принимает равные значения f(a)=f(b), не обязательно равные нулю.

Кроме того, отметим, что если внутри [a; b] найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции f(x) не существует, то утверждение теоремы может оказаться неверным.

Пример. Функция непрерывна на [–1; 1], обращается в нуль на концах отрезка. Но производная не обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка.

Теорема Лагранжа. Если функция y= f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c, a<c<b такая, чтоf(b) – f(a)=f'©(b – a).

Доказательство. Обозначим и рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) – f(a) – k(x – a).

Выясним геометрический смысл введенной функции. Для этого рассмотрим график данной функции на [a; b] и напишем уравнение хорды АВ. Заметим, что угловой коэффициент хорды и она проходит через точку A(а; f(a)). Следовательно, ее уравнение

y = f(a) + k(x – a).

Но F(x)=f(x)–[f(a)+k(x–a)]. ПоэтомуF(x) при каждом x есть разность ординат графика y= f(x) и хорды, соответствующих точкам с одинаковой абсциссой.

Легко видеть, что F(x) непрерывна на [a; b] , как разность непрерывных функций. Эта функция дифференцируема внутри [a; b] и F(a)=F(b)=0. Следовательно, к функции F(x) можно применить теорему Ролля. Согласно этой теореме найдется точка c Î (a; b), что F'©=0. Но F '(x) = f'(x) – k, а значит,F'© = f'© – k = 0.

Подставляя в это равенство значение k, получим

,

что и требовалось доказать.



Теорему Лагранжа геометрически можно пояснить так. Рассмотрим график функции y=f(x), удовлетворяющий условиям теоремы и соединим концы графика на [a; b] хордой AB. Как мы уже отметили, отношение для хорды AB, а f'© есть угловой коэффициент касательной. Следовательно, теорема утверждает, что на графике функции y=f(x) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

Теорема Коши. Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на [a; b] и дифференцируемые внутри него, причем g'(x) ≠ 0 при всех x Î (a; b), то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c Î (a; b), что .

Доказательство.Определим число . Заметим, что g(b) – g(a) ≠ 0, т.к. в противном случае выполнялось бы равенство g(b)=g(a) и по теореме Ролля в некоторой точке d Î (a; b)g'(d) = 0. Это противоречит условию теоремы.

Составим вспомогательную функцию.

F(x) = f(x) – f(a) – k[g(x) – g(a)].

Несложно заметить, что F(a)=F(b)=0. Функция F(x) удовлетворяет на [a;b] всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, найдется число сÎ(a; b) такое, что F'© = 0. Но

F'(x) = f'(x) – k·g(x), а значит F'© = f'© – k·g'© = 0,

откуда.

Заметим, что теорему Коши нельзя доказать, применяя теорему Лагранжа к числителю и знаменателю дроби k. Объясните почему.
Категория: Высшая математика | Добавил: nostril (04 Мар 2012)
Просмотров: 1780 | Теги: геометрический, дифференциала., Смысл, 7., лекция, Высшая, Математика | Рейтинг: 1.4/ 11 Оштрафовать | Жаловаться на материал
Похожие материалы
Всего комментариев: 0

Для блога (HTML)


Для форума (BB-Code)


Прямая ссылка

Профиль
Вторник
18 Июн 2024
10:03


Вы из группы: Гости
Вы уже дней на сайте
У вас: непрочитанных сообщений
Добавить статью
Прочитать сообщения
Регистрация
Вход
Улучшенный поиск
Поиск по сайту Поиск по всему интернету
Наши партнеры
Интересное
Популярное статьи
Портфолио ученика начальной школы
УХОД ЗА ВОЛОСАМИ ОЧЕНЬ ПРОСТ — ХОЧУ Я ЭТИМ ПОДЕЛИТ...
Диктанты 2 класс
Детство Л.Н. Толстого
Библиографический обзор литературы о музыке
Авторская программа элективного курса "Практи...
Контрольная работа по теме «Углеводороды»
Поиск
Главная страница
Используются технологии uCoz