Высшая математика / Лекция N 3. Типы неопределенностей.
ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Функция не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.
Однако, можно найти предел этой функции при х→0.
Приведем доказательство записанной формулы. Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < α < π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α > 0.) Из рисунка видно, что
Но . Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что .
Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.
Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности . Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами .
Примеры. . . . .
ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1∞ и выглядит следующим образом
Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу).
Примеры. . . . . . .
СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть при x→a функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями. Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)). Если , то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одногопорядка. Если , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительноg(x).
Если , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать f ≈ g.
Примеры. Пусть f(x)=x2,g(x)=5x. Функции являются бесконечно малыми при x→0. Найдем . Следовательно, f(x) – бесконечно малая высшего порядка относительно g(x). Пусть f(x)=x2–4,g(x)=x2–5x+6 – бесконечно малые при x→2.
.
Поэтому f(x) и g(x) одного порядка. f(x)=tg2x,g(x) = 2x – бесконечно малые при х→0.
.
Следовательно, f ≈ g. – бесконечно малые при n→∞.
– этот предел не существует. Поэтому говорят, что функции f и g не сравнимы.
При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных бесконечно малых функций.
Теорема. Пусть f и g – бесконечно малые функции при х→а. Если и f ≈ f1, g ≈ g1, то , т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной бесконечно малой.
Доказательство. Имеем . Тогда
,
что и требовалось доказать.
Докажите самостоятельно эквивалентность следующих бесконечно малых функций при
Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что её графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции y = f(x) мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции: если независимая переменная приближается к точке x0, то значение функции y = f(x) неограниченно приближается к значению функции в точкеx0, т.е. к f(x0).
Дадим строгое определение непрерывности функции. Итак, пусть имеем функцию y = f(x).
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке и в некоторой окрестности содержащей x0 и . (1)
Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точкеx0, если выполнены 3 условия: она определена в точке x0 и в некоторой её окрестности; имеет предел при x → x0; этот предел равен значению функции в точке x0.
Формулу (1) можно записать в виде , т.к. . Это означает, что для того, чтобы найти предел непрерывной функции при x → x0, достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента xего значение x0.
Пример: Докажем, что функция y = 3x2 непрерывна в произвольной точке x0. Для этого найдем .
Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (a; b), где a < b, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.
Непрерывные функции обладают следующими свойствами.
Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то их сумма φ(x) = f(x) + g(x) также есть непрерывная функция в точке x0.
Доказательство. Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то исходя из определения можно написать . Тогда на основании свойств пределов будем иметь
.
Эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
Следующие две теоремы докажите самостоятельно аналогично теореме 1.
Теорема 2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.
Теорема 3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.
Если функцию можно представить в виде y = f(u), где u = φ(x), т.е. если функция зависит от переменной через промежуточный аргумент u, то называется сложной функцией переменной x.
Примеры: y = sinx3. Здесь u = x3, y = sin u. y = etg x, u = tg x, y = eu.
Таким образом, под термином сложная функция следует понимать не какое – либо очень сложное выражение, а функцию, которая зависит от аргумента x через несколько промежуточных функций.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Если функция u = φ(x) непрерывна в точкеx0 и принимает в этой точке значение u0 = φ(x0), а функция f(u) непрерывна в точке u0, то сложная функция y = f(φ(x)) непрерывна в точке x0.
Используя эти теоремы можно доказать следующий результат.
Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Заметим, что если функция y = f(x) непрерывна в точке x0 и её значение в этой точке отлично от 0, f(x0) ≠ 0, то значения функции f(x) в некоторой окрестности точки x0 имеют тот же знак, что и f(x0), т.е. если f(x0) > 0, то найдётся такое δ > 0, что на интервале(x0– δ;x0+ δ) f(x) > 0 (в этой окрестности значения функции f(x) очень мало отличаются от своего предела).
ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
Если рассмотреть график функции в окрестности точки x= 0 (см. рис. справа), то ясно видно, что он как бы “разрывается” на отдельные кривые. Аналогично можно рассмотреть функцию, изображенную на рисунке слева в окрестности точки 2. Говорят, что во всех указанных точках соответствующие функции становятся разрывными.
Точка называется точкой разрыва функции y = f(x), если она принадлежит области определения функции или её границе и не является точкой непрерывности.
В этом случае говорят, что при x= x0 функция разрывна. Это может произойти, если в точке x0 функция не определена или не существует предел , или если предел существует, но .
Примеры. Рассмотрим функцию:
Эта функция определена во всех точках отрезка [0, 4] и её значение при x = 3 равно 0. Однако, в точке x = 3 функция имеет разрыв, т.к. она не имеет предела при x = 3:
Следует отметить, что f(x) непрерывна во всех остальных точках отрезка [0, 4]. При этом в точке x = 0 она непрерывна справа, а в точке x = 4 – слева, т.к.
.
Как уже отмечалось, функция разрывна при x = 0. Действительно, при x = 0 функция не определена: . Функция разрывна при x = 0. Действительно, . При x = 0 функция не определена. Функция определена для всех значений x, кроме x = 0. В этой точке она имеет разрыв, т.к. предел не существует (рисунок см. в лекции 1).
Точки разрыва функции можно разбить на два типа.
Точка разрыва x0 функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют оба односторонних конечных предела и , но они не равны между собой или не равны значению функции в точке x0, т.е. f(x0). Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.
Примеры: В первом примере точка х=3 является точкой разрыва первого рода. В примерах 2 – 4 все точки разрыва являются точками разрыва второго рода. Для функции, изображённой на рисунке точка x = 2 является точкой разрыва первого рода. Функция не определена в точке x = 0. Эта точка является точкой разрыва 1-го рода, т.к. в ней существуют пределы справа и слева.
