Понедельник, 26 Фев 2024, 18:42
Uchi.ucoz.ru
Меню сайта
Форма входа

Категории раздела
Высшая математика [11]
Экономическая социология [95]
Основы Менеджмента [64]
Бухгалтерский учёт [157]
Философия [163]
Мировая Экономика [603]
Бизнес планирование [29]
Финансирование и кредитование инвест [105]
Ценообразование [46]
Гражданское право [196]
Права Человека [173]
Основы Маркетинга [207]
Основы энергосбережения [55]
Информатика [0]
Экология и устойчивое развитие [0]
Физика для студентов [0]
Основы права [0]
Политология [0]
Не стандартные примеры на Delphi [169]
Примеры на Delphi7 [108]
Алгоритмы [94]
API [110]
Pascal [152]
Базы Данных [6]
Новости
Чего не хватает сайту?
500
Статистика
Зарегистрировано на сайте:
Всего: 51631


Онлайн всего: 5
Гостей: 5
Пользователей: 0
Яндекс.Метрика
Рейтинг@Mail.ru

Каталог статей


Главная » Статьи » Студентам » Высшая математика

Высшая математика / Лекция N 5. Производные некоторых основных элементарных функций.
y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:

(a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2∙n(n – 1)an-2∙b2+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn,

можно доказать, что

Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)n, и, следовательно,

Δy=(x+Δx)n – xn =n·xn-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·xn-2·Δx2 +…+Δxn.

Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.

Найдем предел

Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.
y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.

Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то

Таким образом,

Аналогично можно показать, что

Рассмотрим функцию y= ln x.

Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому

Итак,

Используя свойства логарифма можно показать, что

Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x.

.
(справедлива для любого конечного числа слагаемых).
.
.

а) .

б) .

Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно.

Доказательство формулы 3.

Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+Δx имеем y(x+Δx)=u(x+Δx) + v(x+Δx).

Тогда

Δy=y(x+Δx) – y(x) = u(x+Δx) + v(x+Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv.

Следовательно,

.

Доказательство формулы 4.

Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(x+Δx)=u(x+Δx)·v(x+Δx), поэтому

Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx) – u(x)·v(x).

Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит u(x+Δx)→u(x), v(x+Δx)→v(x), при Δx→0.

Поэтому можем записать

На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.

Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,

y ' = u '·(v·w) + u·(v ·w) ' = u '·v·w + u·(v '·w +v·w ') = u '·v·w + u·v '·w + u·v·w '.

Доказательство формулы 5.

Пусть . Тогда

При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)→v(x) при Δx→0.

Примеры.
Если , то
y = x3 – 3x2 + 5x + 2. Найдем y '(–1).

y ' = 3x2 – 6x+ 5. Следовательно, y '(–1) = 14.
y = ln x · cos x, то y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙cos x – ln x · sin x.



Таким образом,

Аналогично для y= ctgx,

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).

Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз.

Установим правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную и принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную y 'u= f '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y 'x= f '(u0)·u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0+Δx:

Δu= u(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0+Δu) – f(u0).

Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

,

где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy= y 'uΔu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

.

По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y 'x= y 'u·u 'x . Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y 'x= y 'u·u 'x . Применяя эту же теорему для u 'x получаем , т.е.

y 'x = y 'x· u 'v· v 'x = f 'u (u)·u 'v (v)·v 'x (x).

Примеры.
y = sin x2. Тогда .

ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Начнем с примера. Рассмотрим функцию y= x3. Будем рассматривать равенство y= x3 как уравнение относительно x. Это уравнение для каждого значения у определяет единственное значение x: . Геометрически это значит, что всякая прямая параллельная оси Oxпересекает график функции y= x3 только в одной точке. Поэтому мы можем рассматривать x как функцию от y. Функция называется обратной по отношению к функции y= x3.

Прежде чем перейти к общему случаю, введем определения.

Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке, если большему значению аргумента x из этого отрезка соответствует большее значение функции, т.е. если x2>x1, то f(x2) > f(x1).

Аналогично функция называется убывающей, если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. еслих2 < х1 , то f(x2) > f(х1).

Итак, пусть дана возрастающая или убывающая функция y= f(x), определенная на некотором отрезке [a; b]. Для определенности будем рассматривать возрастающую функцию (для убывающей все аналогично).

Рассмотрим два различных значения х1 и х2. Пусть y1=f(x1), y2=f(x2). Из определения возрастающей функции следует, что если x1<x2, то у1<у2. Следовательно, двум различным значениям х1 и х2 соответствуют два различных значения функции у1 и у2. Справедливо и обратное, т.е. если у1<у2, то из определения возрастающей функции следует, чтоx1<x2. Т.е. вновь двум различным значениям у1 и у2 соответствуют два различных значенияx1 и x2. Т.о., между значениями x и соответствующими им значениями y устанавливается взаимно однозначное соответствие, т.е. уравнение y=f(x) для каждого y (взятого из области значений функции y=f(x)) определяет единственное значение x, и можно сказать, что x есть некоторая функция аргумента y: x= g(у).



Эта функция называется обратной для функции y=f(x). Очевидно, что и функция y=f(x) является обратной для функции x=g(у).

Заметим, что обратная функция x=g(y) находится путем решения уравнения y=f(x) относительно х.

Пример. Пусть дана функция y = ex. Эта функция возрастает при –∞ < x <+∞. Она имеет обратную функцию x = lny. Область определения обратной функции 0 < y < + ∞.

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Если возрастающая (или убывающая) функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b], причем f(a)=c, f(b)=d, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [c; d].

Замечание 2. Если функция y=f(x) не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций.

Пример. Функция y=x2 определена при –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 функция – убывает и обратная для нее .

Замечание 3. Если функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными, то они выражают одну и ту же связь между переменными x и y. Поэтому графикомих является одна и та же кривая. Но если аргумент обратной функции мы обозначим снова через x, а функцию через y и построим их в одной системе координат, то получим уже два различных графика. Легко заметить, что графики будут симметричны относительно биссектрисы 1-го координатного угла.

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции.

Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную , т.е. справедлива формула.

Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.

Покажем, что .

Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. .

Следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Эту формулу можно записать в виде .

Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.

Примеры.
y = ex. Обратной для этой функции является функция x= ln y. Мы уже доказали, что . Поэтому согласно сформулированной выше теореме

Итак, (ex) ' = ex

Аналогично можно показать, что (ax) ' = ax·lna. Докажите самостоятельно.
y = arcsin x. Рассмотрим обратную функцию x = sin y. Эта функция в интервале – π/2<y<π/2 монотонна. Ее производная x ' = cos y не обращается в этом интервале в нуль. Следовательно, по теореме о производной обратной функции

.

Но на (–π/2; π/2) .

Поэтому

Аналогично

Докажите самостоятельно.
y = arctg x. Эта функция по определению удовлетворяет условию существования обратной функции на интервале –π/2< y < π/2. При этом обратная функция x = tg y монотонна. По ранее доказанному .

Следовательно, y ' = cos2 y . Но .

Поэтому



Используя эти формулы, найти производные следующих функций:
Категория: Высшая математика | Добавил: nostril (04 Мар 2012)
Просмотров: 1859 | Теги: производные, элементарных, лекция, Высшая, некоторых, основных, 5., функций., Математика | Рейтинг: 1.1/ 14 Оштрафовать | Жаловаться на материал
Похожие материалы
Всего комментариев: 0

Для блога (HTML)


Для форума (BB-Code)


Прямая ссылка

Профиль
Понедельник
26 Фев 2024
18:42


Вы из группы: Гости
Вы уже дней на сайте
У вас: непрочитанных сообщений
Добавить статью
Прочитать сообщения
Регистрация
Вход
Улучшенный поиск
Поиск по сайту Поиск по всему интернету
Наши партнеры
Интересное
Популярное статьи
Портфолио ученика начальной школы
УХОД ЗА ВОЛОСАМИ ОЧЕНЬ ПРОСТ — ХОЧУ Я ЭТИМ ПОДЕЛИТ...
Диктанты 2 класс
Детство Л.Н. Толстого
Библиографический обзор литературы о музыке
Авторская программа элективного курса "Практи...
Контрольная работа по теме «Углеводороды»
Поиск
Главная страница
Используются технологии uCoz