Нужно ли знакомить учащихся с условием задания геометрических фигур?
Как показывает опыт необходимо больше внимания уделяться вопросу воспитания у учащихся критического отношения к содержанию условия задачи.
Традиционно лишь при решении задач на «построение» требуется проводить исследование. А что касается задач на доказательство или вычисление, то учащиеся часто решают их, не осознавая внутренней структуры, связей между заданными условиями.
Нередко приходится сталкиваться с таким фактом. Решая задачу «Стороны параллелограмма равны 7,2 см и 4,8 см. Высота, проведенная, к большей стороне, равна 6,4 см. Найдите вторую высоту параллелограмма», ученик, не задумываясь, пишет h = (6,4*7,2):4,8. Казалось бы, все правильно — он усвоил соответствующий материал, задача решена. Но стоило бы перед решением задачи сопоставить данные ее условия, попытаться построить по этим данным требуемую фигуру — и ученик бы убедился, что задача решения не имеет, так как параллелограмма, отвечающего условию задачи, не существует (сторона меньше высоты, проведенной к другой стороне параллелограмма).
Для предупреждения такого формального подхода к решению задач необходимо стремиться к тому, чтобы учащиеся по мере изучения курса все больше понимали, что учет условий, задающих геометрическую фигуру, дает возможность предсказать, имеет ли задача решение или нет, а если имеет, то будет ли число решений конечным.
Формирование у учащихся привычки рассматривать условие задачи как объект изучения и исследования оказывает значительное влияние на общую эффективность обучения решению и самостоятельному составлению задач. Такой вид учебной деятельности раскрывает большие возможности для развития логического мышления учащихся, их геометрической интуиции.
Для достижения указанных целей можно использовать следующий подход: не решая предложенную задачу, сначала построить фигуру по условию (на начальных этапах — с помощью инструментов, впоследствии — от руки). Такой подход позволяет учитывать соотношения между данными задачи и более глубоко осмыслить условия, задающие геометрическую фигуру.
В учебных пособиях, сборниках задач, дидактических материалах задачи подобраны так, что фигуры, о которых идет речь в условии, всегда существуют. Поэтому их решение без предварительного исследования фигур, отвечающих требованиям условия, не приводит к недоразумениям.
С условиями, задающими геометрическую фигуру, следует знакомить учащихся постепенно в процессе изучения программного материала.
Например, уже в 7 классе при изучении геометрических построений целесообразно установить связь между условиями, задающими треугольники, с признаками равенства треугольников.
Чтобы воспитать у учащихся чувство потребности критического анализа условий задач, можно начать работу с рассмотрения задач с противоречивыми условиями, требования которых высказаны не в форме «найдите» и «определите», а в форме «существуют ли?».
Задача 1. Существует ли треугольник со сторонами 6 см, 3 см и 2 см? Учащиеся проводят исследование и дают ответ на вопрос задачи: искомого треугольника не существует.
Задача 2. Существует ли треугольник со сторонами 3 см и 4 см и медианой 1 см, про веденной к большей из данных сторон?
Задача 3. Существует ли треугольник со сторонами 3 см и 4 см и высотой 5 см, проведенной к третьей стороне?
Задача 4. Существует ли параллелограмм, две диагонали и сторона которого равны соответственно 8 см, 10 см и 10 см?
Задачи, подобные приведенным, можно составить, если переформулировать задачи из учебника А. В. Погорелова.
После ознакомления учащихся с достаточным количеством задач с противоречивыми условиями на исследование можно перейти к задачам на вычисление и построение. Поучительными являются задачи, в условия которых включены «лишние данные».
Задача 5. Около окружности описана равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 4 см, а угол равен 60°. Найдите радиус окружности. Учащиеся проводят исследование и приходят к выводу, что в данном случае вписать окружность в трапецию нельзя. Следовательно, условия задачи противоречивы и задача решения не имеет.
Учащимся предлагается выяснить причины противоречия условий задачи. Установив противоречие, они убеждаются, что в условии задачи содержатся лишние данные, и составляют текст задачи правильно. Делается это формально: исключают чаще всего по одному из условий, задающих фигуру. Таким образом составляются новые задачи.
5.1. Около окружности описана равнобокая трапеция, нижнее основание которой равно 8 см, а угол 60°. Найдите радиус окружности.
5.2. Около окружности описана равнобокая трапеция, верхнее основание которой равно 4 см, а угол 60°. Найдите радиус окружности.
5 3. Около окружности описана равнобокая трапеция, основания которой равны 8 см и 4 см. Найдите радиус окружности.
Далее учащиеся проводят исследование, чтобы выяснить, верно ли составлены задачи. С этой целью они выполняют построения геометрических фигур, удовлетворяющих условиям задач, и приходят к выводу, что задачи имеют единственное решение, так как можно построить единственную фигуру (с точностью до положения).
Чтобы ученики осознанно подходили к пониманию содержания условия задачи и определению числа ее решений, полезным является рассмотрение задач с недостающими данными.
Задача 6. Постройте треугольник по двум сторонам 3,1 см и 1,8 см и углу 31°, не лежащему между ними. Можно предложить задание: выяснить, сколько решений имеет задача. Оказывается, что можно построить три различных треугольника. Задача является поучительной, предостерегающей от формального подхода к решению.
Задача 7. В окружность радиуса 2 см вписан равнобедренный треугольник ABC. Радиус ОА образует с основанием АВ треугольника ABC угол в 30°. Найдите площадь треугольника ABC. Проводится исследование условия задачи. Задача имеет два решения.
Таким образом, рассмотренные задачи показывают, что число решений задачи можно определить конструктивно, не решая ее.
При изучении темы «Подобие фигур» желательно ознакомить учащихся с понятием «форма» фигуры. В явном виде определение формы не дается, однако оно становится ясным из того, что любые две подобные фигуры имеют одинаковую форму, а формы неподобных фигур различны. Форму фигуры будем считать известной, если по определяющим ее условиям можно построить фигуру, подобную данной.
Так, отношение двух сторон треугольника не полностью характеризует его форму, добавление же, например, угла между ними делает форму треугольника известной. Форма прямоугольного равнобедренного, равностороннего треугольников, квадрата всегда известна; форма параллелограмма определяется двумя элементами (например, углом и отношением смежных сторон) и т.д.
При изучении признаков подобия треугольников следует обратить внимание на связь задания формы треугольника с признаками подобия.
В определениях геометрических фигур указывается перечень условий, характеризующих данную фигуру. Изучение геометрических понятий можно начать с построения соответствующей фигуры; построением проверить, однозначно ли задана фигура (с точностью до формы). Например, в определениях квадрата, окружности и т. д. фигуры определяются однозначно (с точностью до формы); в определениях треугольника, параллелограмма и т. д. фигуры определяются неоднозначно. Такое усиление внимания к определениям будет способствовать повышению математической культуры учащихся.
Практика подтверждает эффективность описанного приема обучения учащихся, который обладает большой общностью и может применяться во многих случаях.
