Математика представляет собой язык, на котором формулируются и решаются физические задачи. Тем не менее, для понимания элементарных (а может быть и фундаментальных) оснований науки об окружающем нас мире полезно познакомиться с задачами, решение которых не требует проведения математических расчётов. Вот несколько таких задач.
1. В небольшом бассейне плавает лодка. Изменится ли уровень воды в бассейне, если лежащий на дне лодки камень бросить в воду?
Подумаем: зависит ли ответ на вопрос, поставленный в задаче, от формы дна лодки, на котором лежит камень? Ясно, что такой зависимости быть не может: в законе Архимеда форма тела, погруженного в жидкость, никакой роли не играет. Тогда будем мысленно «продавливать» камень через дно лодки. Последовательные стадии этого процесса представлены на рисунке.
На одном из этапов камень можно представить подвешенным на верёвке, привязанной ко дну лодки. Уровень воды, естественно, не изменится, если удлинить верёвку так, чтобы камень коснулся дна бассейна. Если теперь веревку перерезать, очевидно, лодка всплывёт и, следовательно, уровень воды понизится. Аналогично решается и следующая задача.
2. В стакане с водой плавает кусок льда, содержащий: а) пузырёк воздуха; б) кусочек пробки; в) стальную гайку. Как изменится уровень воды в стакане, когда лёд растает?
Заметим, что если лёд однороден, то после таяния уровень воды не изменится: лёд вытесняет ровно столько воды, сколько сам весит, а, следовательно, сколько получится при таянии. Также заметим, что решение поставленной задачи не зависит от места расположения указанных в условии задачи объектов в куске льда.
Пузырёк можно переместить к поверхности льда (см. рис.). То есть наличие пузырька равнозначно изменению формы льда, таяние которого, как мы уже заметили, уровень воды не изменяет. Гайку, как и в первой задаче, «продавим» сквозь лёд до дна стакана, а затем перережем связывающую ледяную нить. Лёд всплывёт, уровень воды понизится, и уже не изменится после таяния льда. Лёд с вмёрзшей пробкой после таяния не изменит уровень воды, так как пробку можно мысленно выдавить изо льда и пустить в самостоятельное плавание на тонкой ледяной нити.
И в заключение – задача повышенной сложности.
3. Стакан наполовину заполнен водой, в которой плавает кусок льда. Поверх льда наливают керосин, верхний уровень которого устанавливается на высоте h от дна стакана. Как изменится эта высота, когда лёд растает?
В случае, когда лёд оказывается под поверхностью керосина, ответ очевиден (вода, полученная после таяния льда, занимает меньший объём, значит верхний уровень керосина понизится). Интерес представляет анализ ситуации, когда лёд выступает над поверхностью льда (см. рисунок).
Возникает соблазн деформировать лёд таким образом, чтобы его вершина оказалась под поверхностью керосина. Таким образом, казалось бы, можно было бы свести рассматриваемую задачу к предыдущей. Однако этот «фокус» не проходит: погружение выступающей части льда в керосин сопровождается повышением уровня жидкости. После таяния льда уровень понизится и конечный результат оказывается не очевидным.
Может, попробовать деформировать не лёд, а жидкость? Для этого слой керосина (толщиной h1) заменим таким слоем воды, который сохраняет положение льда. Поскольку плотность воды больше, чем плотность керосина, высота слоя h2 < h1.
При таянии льда уровень воды (как было замечено выше) не меняется. Если теперь осуществить обратную замену и вернуть на место керосин (для этого следует оставить след поверхности льда, см. рисунок), то выяснится, что слой керосина над поверхностью, которую ранее образовывала вода, растекается по большей площади и уровень керосина понижается по сравнению с исходным, (см. рисунок).
Итак, уровень керосина понижается независимо от того, покрывает керосин ледяную глыбу полностью или частично. Несмотря на то, что деформация льда не привела к решению, сама идея метода эквивалентных деформаций оказалась плодотворной!
