Вы уже знакомы с преобразованием формул «правилом треугольника». Оно применимо, когда в формуле три величины, две из которых составляют дробь. А как быть, если величин в формуле более трёх и нет дроби? Какое правило нам поможет легко преобразовывать такие формулы?
Для этого служит «правило креста», которое применимо к любым пропорциям (лат. proportio – соразмерность частей). Это равенства вида:
В этих равенствах «a» и «d» называют крайними членами пропорции, «b» и «c» – средними членами пропорции. И, по свойству пропорции, произведение её крайних членов равно произведению её средних членов: a·d = b·c.
Взгляните на рисунок. Сначала проведём подготовку – запишем «заданные учителем» формулы A = B:CD и A = BC:D пропорциями «в нашей тетради», добавив недостающие знаменатели в виде единицы. Поскольку при делении на единицу никакое значение не меняется, то мы имеем право так сделать.
Рассматриваемое «правило креста» состоит в том, что в дробях пропорции любые величины можно свободно переставлять «крест-накрест».
Рассмотрите тетрадь на рисунке. На левой половине тетради мы поменяли «крест-накрест» величины A и C. Затем убрали единицу из знаменателя, которую добавляли при подготовке. Итак, мы за одно действие выразили величину C, как и «просил учитель». На правой половине нам потребовалось два действия. Сначала меняем «крест-накрест» величину C и единицу, затем, убрав единицы, «отзеркаливаем» пропорцию слева направо. При этом сохраняется равенство, и мы находим искомую величину B.
Рассмотрим теперь «правило креста» на уже знакомых нам формулах. Например, на формуле для вычисления объёма параллелепипеда или цилиндра высотой h и площадью основания S:
Представим эту формулу в виде пропорции, добавив недостающие знаменатели в виде единиц:
Чтобы выразить высоту, поменяем «крест-накрест» величину S и единицу:
Теперь убираем обе вспомогательные «единицы»:
Осталось лишь «отзеркалить» равенство слева направо:
В исходной формуле было три величины, однако почти ничего не изменится, когда их будет четыре или больше. Порядок применения изученного нами «правила креста» остаётся прежним:
1. Добавляем единицы в знаменатели, чтобы получилась пропорция. 2. Меняем «крест-накрест» любые величины любое количество раз. 3. При необходимости «отзеркаливаем» формулу справа налево.
Попробуйте теперь применить это правило самостоятельно на формуле для вычисления объёма параллелепипеда по его длине, ширине и высоте: V=lbh. У вас всё получится!
