Воскресенье, 27 Ноя 2022, 21:08
Uchi.ucoz.ru
Меню сайта
Форма входа

Категории раздела
Все для подготовки школьников к ЕГЭ [33]
Подготовка школьников к ГИА [2]
Новости
Чего не хватает сайту?
500
Статистика
Зарегистрировано на сайте:
Всего: 51581


Онлайн всего: 17
Гостей: 17
Пользователей: 0
Яндекс.Метрика
Рейтинг@Mail.ru

Каталог статей


Главная » Статьи » Подготовка школьников » Все для подготовки школьников к ЕГЭ

Задание C4
1)Условие:
Прямоугольный треугольник ABC имеет периметр 54. Окружность радиуса 6, центр которой лежит на катете ВС, касается прямых АВ и АС. Найти площадь треугольника АВС

Пусть AC = AH = x, BH = y, BO = z.
Тогда периметр треугольника равен 2x+y+z+6 = 54.

Выразим x, y и z через угол альфа (а):

Из прямоугольного треугольника AHO:
x = 6/tg(a/2).
Из прямоугольного треугольника BHO:
y = 6*tg(a), z = 6/cos(a)

Итак, выражение для периметра становится таким:

12/tg(a/2)+6*tg(a)+6/cos(a)+6 = 54
1/cos(a) + 2/tg(a/2) + tg(a) = 8.

Тут удобно всё выразить через тангенс половинного угла:
(1+(tg(a/2))^2)/(1-(tg(a/2))^2) + 2/tg(a/2) + 2*tg(a/2)/(1-(tg(a/2))^2) = 8.

Обозначим t = tg(a/2), получим
(1+t^2)/(1-t^2)+2/t+2t/(1-t^2) = 8

Путём несложных преобразований приводим это к виду
9t^2 - 9t + 2 = 0

(1) t1 = 1/3
(2) t2 = 2/3

Выражаем обратно x и z (y нам в принципе уже не нужен, поскольку площадь треугольника будет равна половине произведения катетов, т.е. x*(z+6)/2. Хотя и y тоже по хорошему стоит вычислить и проверить, получается ли периметр равным 54).

Итак, для случая (1) имеем:
z = 6/cos(a) = 6/((1-1/9)/(1+1/9)) = 7.5
x = 6/tg(a/2) = 6/(1/3) = 18.
S = x*(z+6)/2 = 121.5

Для случая (2) имеем:
z = 6/cos(a) = 6/((1-4/9)/(1+4/9)) = 15.6
x = 6/tg(a/2) = 6/(2/3) = 9.
S = x*(z+6)/2 = 97.2
Ответ:121.5, 97.2

2)Условие:
В угол, равный arccos(-1/9), вписана окружность радиуса 3. Параллельно хорде, соединяющей точки касания, проведены две касательные к окружности, в результате чего получилась трапеция. Найдите площадь этой трапеции.

Нас интересует площадь трапеции ABCD, Её высота равна 2R=6. Осталось только найти полусумму оснований (AB+CD)/2.

Из прямоугольного треугольника OLH найдем OH:
OH = OL/sin(OHL).
Для удобства обозначим угол OHL буквой "a".

По формуле косинуса двойного угла:
cos(2a) = 1 - 2sin^2(a), откуда
sin(a) = sqrt((1-cos(2a))/2)
sin(a) = sqrt((1+1/9)/2) = sqrt(5)/3

Чтобы потом к этому не возвращаться,
cos(a) = sqrt(1-5/9) = 2/3
tg(a) = sqrt(5)/3/2*3 = sqrt(5)/2.

Итак, OH = OL/sin(a) = 9/sqrt(5)
Отсюда:
PH = 9/sqrt(3) - 3
QH = 9/sqrt(3) +3

AB = 2*PH*tg(a)
CD = 2*QH*tg(a)

(AB+CD)/2 = 2*9/sqrt(5)*sqrt(5)/2 = 9

S(ABCD) = 9*6 = 54
Ответ:
54

3)Условие:
Окружность с центром в точке О касается сторон АВ и ВС треугольника АВС в точке К и М соответственно так, что АК=5 см, СМ=7 см. При этом центр окружности лежит на стороне АС и делит ее в отношении 4:5. Найдите стороны АВ и ВС.

Рассмотрим треугольники ABO и CBO.
Их площади:

S(ABO) = 1/2*AO*BH = 1/2*AB*R
S(CBO) = 1/2*CO*BH = 1/2*BC*R

Отсюда AB/BC = S(ABO)/S(CBO) = AO/CO = 4/5

Обозначив KB=MB=x, получим
(x+5)/(x+7) = 4/5
5x+25 = 4x+28
x = 3

Значит, AB = x+5 = 8; BC = x+7 = 10
Ответ:
AB = 8 см, BC = 10 см.
121.5, 97.2
Категория: Все для подготовки школьников к ЕГЭ | Добавил: Anica (22 Апр 2012)
Просмотров: 1331 | Рейтинг: 1.0/ 10 Оштрафовать | Жаловаться на материал
Похожие материалы
Всего комментариев: 0

Для блога (HTML)


Для форума (BB-Code)


Прямая ссылка

Профиль
Воскресенье
27 Ноя 2022
21:08


Вы из группы: Гости
Вы уже дней на сайте
У вас: непрочитанных сообщений
Добавить статью
Прочитать сообщения
Регистрация
Вход
Улучшенный поиск
Поиск по сайту Поиск по всему интернету
Наши партнеры
Интересное
Популярное статьи
Портфолио ученика начальной школы
УХОД ЗА ВОЛОСАМИ ОЧЕНЬ ПРОСТ — ХОЧУ Я ЭТИМ ПОДЕЛИТ...
Диктанты 2 класс
Детство Л.Н. Толстого
Библиографический обзор литературы о музыке
Авторская программа элективного курса "Практи...
Контрольная работа по теме «Углеводороды»
Поиск
Главная страница
Используются технологии uCoz