Г: - Я хочу понять: что такое ФУНКЦИЯ? Почему ваши коллеги возятся с этой вещью, как с писаной торбой, но никому не дают заглянуть в нее? Зачем эти функции нужны? Какие они бывают, а каких не бывает? Что можно сделать с любой функцией; что - не с любой, а только с очень хорошей; чего нельзя делать ни под каким видом? Дайте простому гуманитарию разобраться в вашей математической кухне!
М: - Извольте: у нас на кухне секретов нет. Но сперва позвольте познакомить вас с более простой вещью: с ГРАФИКОМ функции!
Г: - Давайте его сюда! О нем тоже много сказок рассказывают, но строгого определения я ни от кого не слыхал. Начните же с определения графика!
М: - Хорошо. Вообразите, что мы с вами находимся на плоскости, где введена система декартовых координат. То есть, каждой точке плоскости мы сопоставили пару чисел (х,у). Это вам знакомо?
Г: - Да, это вещь привычная.
М: - Итак, ГРАФИКОМ функции называется любая фигура F на плоскости, обладающая таким свойством: каждая прямая, параллельная оси (Y), пересекает фигуру F не более чем в одной точке.
Вот вам определение. Теперь займемся примерами. Всякая ли прямая на плоскости является графиком некой функции?
Г: - Ну конечно! Эти функции так и называют: ЛИНЕЙНЫЕ. Хотя вернее было бы сказать: ПРЯМОлинейные!
М: - Да, так было бы точнее. Но уж так повелось, и не будем вводить новые слова! Раз вы знакомы с линейной функцией, то назовите ДВЕ такие функции с разными графиками!
Г: - Пожалуйста! Одна функция: (у = х); другая: (у = -х).
М: - Что вы скажете об их графиках?
Г: - Очень просто: графики этих двух функций суть биссектрисы углов между осями координат. График (у = х) делит пополам первый и третий координатные углы, а график (у = -х) - второй и четвертый углы. Оттого угол между этими двумя графиками - прямой.
М: - Воистину так! А прямая, параллельная одной из координатных осей: она является графиком какой-либо функции?
Г: - Это зависит от оси! Если прямая вертикальна, то есть параллельна оси (Y), то она, конечно, ничьим графиком быть не может. Если же она параллельна оси (X), то она - график ПОСТОЯННОЙ функции. Например: (у = 5).
М: - Ну, с прямыми мы разобрались. А как насчет ОКРУЖНОСТИ? Является ли она графиком какой-то функции?
Г: - Это надо проверить... Нет, не получится: ведь окружность пересекает прямую в двух точках!
М: - Ну, не любую прямую: есть же касательные! Но для ПОЧТИ ЛЮБОЙ прямой вы правы, так что окружность не задает никакую функцию. А как насчет ПОЛУокружности?
Г: - Это другое дело! Если взять ту полуокружность радиуса R с центром в начале координат, которая лежит в верхней полуплоскости, то она пересекает любую вертикальную прямую в ОДНОЙ точке, так что, по вашему определению, она - график функции! Только непонятно: КАКОЙ функции?
М: - А вот это - вопрос НЕКОРРЕКТНЫЙ! Раз вы задали функцию ее ГРАФИКОМ - значит, вы ее УЖЕ определили! Теперь можно исследовать ее свойства: например, искать область определения, или область значений, или выяснять НЕПРЕРЫВНОСТЬ графика.
Г: - Но где же ФОРМУЛА, выражающая нашу функцию?
М: - Пока нигде! Такой формулы может и не быть! ГРАФИК есть у каждой функции, хотя порою нелегко разобраться в свойствах функции по виду ее графика. А формулы есть лишь у самых удачных функций. Но та, что задана полуокружностью, - удачная. Вспомните теорему Пифагора, и найдите формулу этой функции!
Г: - Это несложно: у = R^2-х^2, где R - радиус окружности, а (х) - любое число из отрезка (-R, R), который есть область определения нашей функции.
М: - Да, тут нам повезло: мы выбрали в качестве графика столь удобную кривую, что ее удалось задать и формулой. А что, если выбрать в качестве графика ПАРАБОЛУ, или ГИПЕРБОЛУ?
Г: - Если график - парабола, то функция известна: (у = х^2). Если гипербола - тоже известна: (у = 1/х).
М: - Да, такие функции есть. Но только ли они? Ведь параболу и гиперболу можно СДВИГАТЬ по плоскости!
Г: - Конечно, можно! Это соответствует ЛИНЕЙНОЙ ЗАМЕНЕ аргумента (х) или функции (у). Общие формулы, наверное, таковы: (у = ах^2 + вх + с) для параболы, (у = а + 1/(вх+с)) для гиперболы.
М: - Неплохо вас учили преобразованию графиков функций! Но кроме сдвигов и растяжений, в плоскости есть ПОВОРОТЫ. Например, параболу можно повернуть на 90 градусов, гиперболу - на 45 градусов. Задают ли эти кривые какие-нибудь функции?
Г: - После поворота парабола ляжет на бок, и будет пересекать любую вертикальную прямую в ДВУХ точках... Впрочем, можно разрезать параболу пополам, как мы сделали с окружностью! Тогда половинка параболы в верхней полуплоскости задаст функцию: у = ..х.
М: - Верно! А какую функцию задаст половинка гиперболы, повернутая на 45 градусов?
Г: - Затрудняюсь сказать... Видно только, что это будет ЧЕТНАЯ функция: ведь ее график симметричен относительно оси (Y).
М: - Правильно! Но я вам подскажу, как можно вывести ФОРМУЛУ такой функции. Вспомним уравнение обычной гиперболы: (х*у = 1) - и заметим, что число /х/ равно РАССТОЯНИЮ от точки (х,у) до оси (Y), а число /х/ - расстоянию от этой точки до оси (Х). При повороте чертежа на 45 градусов ось (Х) переходит в прямую (у = х), а ось (Y) - в прямую (у = -х). Расстояние между точками при повороте сохраняется, а расстояние от точки (х,у) до любой прямой равно модулю результата ПОДСТАНОВКИ чисел (х) и (у) в УРАВНЕНИЕ этой прямой. (NB: Это - известный факт аналитической геометрии: вы можете проверить его сами!)
Итак, уравнение (х*у = 1) перейдет при повороте на 45 градусов в уравнение (х+у)*(х-у)=1, или (х^2-у^2 = 1). Эту формулу называют КАНОНИЧЕСКИМ уравнением гиперболы, хотя она ничем не лучше и не хуже формулы (х*у = 1). Ее легко разрешить относительно (у).
Г: - Действительно: (у = ..1+х..) очень похоже на уравнение полуокружности. Но какая разница в графиках!
М: - Вот поэтому я начал объяснять вам функцию через ее ГРАФИК: он полнее отражает существо дела. А теперь я могу дать общее ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ: это - любая тройка (X,Y,F), состоящая из двух МНОЖЕСТВ (X) и (Y) и одного ЗАКОНА (F), который сопоставляет каждому элементу (х) их (Х) единственный элемент (у = F(х) из (Y).
ГРАФИК функции (F), о котором мы говорили, представляет собою один вариант такого закона: каждой точке (а) из множества (Х), лежащего на прямой ®, мы сопоставляем ту единственную точку графика (F), которая над нею висит, а потом проектируем эту точку графика на ось (Y). В нашем случае эта проекция есть действительное число F(у).
Г: - Значит, алгебраическая формула - это ДРУГОЙ вариант закона, сопоставляющего любому числу из (Х) единственное число из (Y)! И, наверное, есть еще ИНЫЕ формулировки таких законов, не сводимые ни к графикам, ни к формулам?
М: - Именно так! Вот пример: возьмем в качестве (Х) числовую прямую, а в качестве (Y) множество из двух чисел: 0 и 1. Закон (F) определим так: F(a) = 0, если (а) - РАЦИОНАЛЬНОЕ число, и F(a) = 1, если (а) - ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ число. Как вы думаете: можно этот закон (F) задать ФОРМУЛОЙ или ГРАФИКОМ?
Г: - Формулой - вряд ли! Например, F(1) = 0 - это очевидно. Но что F(..2) = 1 - это нужно доказывать! Впрочем, мы это доказывали: что корень из двух иррационален. А вот чему равно F(П) - я вовсе не знаю... Говорят, что Пи - иррациональное число; но доказано ли это?
М: - К счастью, уже доказано, хотя не так давно, 240 лет назад. Но есть числа (хотя бы (е+П)), о которых пока неизвестно: рациональные они или иррациональные? Поэтому значения функции (F) известны НЕ ВО ВСЕХ точках числовой прямой! А что вы скажете о ГРАФИКЕ функции (F)?
Г: - Это что-то очень странное! Ясно, что все точки графика лежат на двух параллельных прямых: (у=0) и (у=1). Первую из них они заполняют густо - так же, как РАЦИОНАЛЬНЫЕ числа заполняют числовую ось... Но и на другой прямой точки графика лежат густо! Например, F(a..2/в) = 1, для любых целых чисел (а) и (в), а ведь ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ чисел, пропорциональных корню из двух, тоже очень много!
Однако точки графика F(х) НЕ ЗАПОЛНЯЮТ целиком ни ту, ни другую прямую! Я не могу вообразить наглядно такую фигуру!
М: - Я тоже! Но я привык к таким функциям, умею ими пользоваться, и, значит, ПОНИМАЮ их, хотя не умею ни записать их формулой, ни нарисовать их графики. Чего и вам желаю!
Г: - Пожелать-то легко... Вы лучше объясните: чем они так хороши, эти функции? За что вы их цените выше чисел, хотя числа всем понятны, а функции понимают одни математики?
М: - Спасибо за комплимент: я рад, что ЧИСЛА нынче стали понятны ВСЕМ! Я в них еще многого не понимаю... Но если сравнить число с функцией, то сразу заметно одно различие: число описывает некий ПОСТОЯННЫЙ объект, а функция - ПЕРЕМЕННЫЙ объект. Например, кирпич можно задать ТРЕМЯ ЧИСЛАМИ: его длиной, шириной и высотой. Но если нас интересует ТРАЕКТОРИЯ брошенного кирпича, то ее приходится описывать не числом, а ФУНКЦИЕЙ!
Г: - Ну да: кирпич летит по параболе!
М: - Не совсем так! ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ брошенного кирпича описывает параболу, если можно пренебречь сопротивлением воздуха. Но кирпич еще и вращается вокруг своего центра тяжести! Если это вращение равномерно - тогда у него есть ОСЬ, которая сохраняет свое направление в пространстве, смещаясь параллельно самой себе - так же, как ось Земли при ее движении вокруг Солнца. Оттого полет кирпича приходится описывать небольшим НАБОРОМ числовых функций, заданных на всей числовой прямой. К счастью, эти функции оказываются решениями несложных уравнений: это заметил Ньютон, с этого началась современная физика. Вот для нее и нужны функции!
Г: - Ага! Значит, функции вы придумали не произвольно, а по заказу физиков!
М: - Мы вообще ничего не придумываем произвольно: все - под диктовку Природы! Когда нужно было считать овец или зерно - тогда пришлось придумать целые и рациональные числа. Когда люди начали делить пашню и строить каменные стены - тогда понадобилось исчисление многоугольников и многогранников, сиречь геометрия. Когда астрономы захотели понять движение планет - тогда появилось исчисление функций, названное МАТЕМАТИЧЕСКИМ АНАЛИЗОМ.
Каждый раз практика подсказывала нам основные ОБЪЕКТЫ и их необходимые ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Потом обнаруживались природные ЗАКОНОМЕРНОСТИ среди этих объектов и преобразований.
Г: - Вы имеете в виду правила арифметики и аксиомы геометрии?
М: - Да, конечно! В первую очередь - законы арифметических действий над числами. Например, обнаружили мы, что (а*в = в*а) для любых натуральных чисел. Сразу встает вопрос: верно ли это для рациональных чисел? Или для действительных чисел? И так далее...
Или наоборот: оказалось, что 2^3 /= 3^2, то есть возведение в степень (а^в) НЕ коммутативно. Значит, решение похожих уравнений (х^a = в) и (а^x = в) требует двух РАЗНЫХ действий! Одно из них (извлечение корня) сводится к возведению числа в РАЦИОНАЛЬНУЮ степень, а другое (ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ) - НЕ сводится к извесным операциям. Оттого функции "корень" и "логарифм" имеют совсем разные свойства.
Г: - Вот и поговорим о самых важных свойствах функций!
М: - Да, пора заняться этим всерьез. Итак, мы будем говорить о функциях, которые определены на всей действительной прямой ® и принимают действительные значения. Первый вопрос: обладают ли такие ФУНКЦИИ свойствами, похожими на свойства ЧИСЕЛ? Можно ли их складывать, умножать и делить друг на друга?
Г: - Конечно, можно - если делать это ОТДЕЛЬНО в каждой точке, где определены наши функции! Тогда не придется делать ничего нового, кроме привычных действий над числами...
М: - Именно так мы работаем с функциями в рамках арифметики. Только ДЕЛЕНИЕ функций может вызвать затруднения: что делать в тех точках, где функция, стоящая в знаменателе дроби, обращается в нуль?
Г: - Давайте считать, что 1/0 = ...!
М: - Так и делается, хотя это опасный прием. Но для ХОРОШИХ функций (например, для дробей, числители и знаменатели которых - многочлены) - для них "деление на нуль" с введением символа БЕСКОНЕЧНОСТИ (...) осложнений не вызывает. Как будто мы пополнили области определения и изменения функций еще одной, очень далекой точкой: (...).
Но все это - в рамках АРИФМЕТИКИ числовых функций. А еще у них есть ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ свойства, благо их графики суть ФИГУРЫ на плоскости.
Г: - Причем эти фигуры - особые, мало похожие на привычные геометрам многоугольники или окружности!
М: - Да, и потому для изучения геометрических свойств графиков функций пришлось изобрести особое "исчисление": так называемый МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
Г: - А что в нем особого по сравнению с арифметикой чисел или геометрией многоугольников?
М: - Если говорить формально, то новинка лишь одна: понятие ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ в точке, которое позволяет определить НЕПРЕРЫВНУЮ функцию. Но дальше букет новых понятий разрастается, и конца ему не видно. Например, появляется ПРОИЗВОДНАЯ функции, которая измеряет КРУТИЗНУ ее графика и позволяет строить КАСАТЕЛЬНУЮ ПРЯМУЮ к графику в любой его точке. Затем возникают ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: их решениями являются ФУНКЦИИ, а не числа. Потом ИНТЕГРАЛ от функции дает возможность вычислить ПЛОЩАДЬ под ее графиком; вдобавок, интеграл позволяет узнать УГОЛ между двумя функциями, как будто они - ВЕКТОРЫ в некотором многомерном пространстве.
Г: - Ну, раз так - предъявляйте определения новых понятий!
М: - Я начну с определения НЕПРЕРЫВНОЙ функции, и сначала объясню это свойство на ГРАФИКЕ функции. Рассмотрим график (у=f(х)) вблизи точки (а;f(а)). Мы называем функцию f(х) НЕПРЕРЫВНОЙ в точке (а), если малый кусочек ее графика вокруг точки (а;f(а)) можно зажать внутрь сколь угодно узкой ПОЛОСКИ, параллельной оси (Х).
На языке алгебры это определение звучит так: для любого положительного числа (е>0) найдется положительное число (d>0) такое, что из (/х-а/<d) следует (/(f(x)-f(a)/<е).
Проверьте сами, поглядев на любой график, что эти два определения имеют одинаковый смысл!
Г: - Похоже на то... Вы сначала произвольно выбираете ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ полосу ширины (2е) вокруг прямой (у=f(а)), а потом стараетесь выбрать столь узкую ВЕРТИКАЛЬНУЮ полосу ширины (2d) вокруг прямой (х=а), чтобы весь кусок графика, висящий внутри вертикальной полосы, попал внутрь горизонтальной полосы. Верно ли я вас понял?
М: - Совершенно верно! И теперь давайте проверим: какие функции ОБЛАДАЮТ свойством непрерывности, а какие НЕ ОБЛАДАЮТ им?
Для начала - ЛИНЕЙНАЯ функция: например, (у = 2х+3) возле точки (х=0). Я вам заявляю, что она НЕПРЕРЫВНА: значит, нужно научиться ВЫБИРАТЬ число (d>0) по заданному числу (е>0). Подсчитайте сами: можно ли выразить зависимость (d) от (е) какой-то простой формулой?
Г: - Пожалуй, можно: надо взять (d=e/2).
М: - Верно! Вот как удобна линейная функция: для нее выбор числа (d) по числу (е) можно произвести ОДИНАКОВО, независимо от того, возле какой точки графика мы ведем рассуждения.
Есть и другие функции с этим свойством: например, СИНУС или КОСИНУС. Проверьте сами, что для них достаточно выбрать (d=e): такой выбор позволяет доказать непрерывность функции сразу во всех точках.
Иное дело - функция (у=х^2). Она тоже непрерывна во всех точках, и это нетрудно доказать. Но СПОСОБ ВЫБОРА числа (d) по числу (е) ЗАВИСИТ от той точки (х=а, у=а^2), около которой мы "укрощаем" наш график. Например, около нуля достаточно взять (d=е): проверьте это сами! Но около точки (х=2; у=4) выбор (d=е) нам не поможет, зато выбор (d=е/5) дает нужную нам оценку. Проверьте это!
Дело в том, что функция (у=х^2) с ростом аргумента (х) возрастает все быстрее: ее график становится все круче, то есть (на языке Математического Анализа) ее ПРОИЗВОДНАЯ неограниченно растет. Впрочем, о производных речь впереди; сейчас нам пора разобраться с РАЗРЫВНЫМИ функциями.
Г: - А нужно ли с ними разбираться? Ведь самые важные функции (по вашим словам) - непрерывные!
М: - Действительно, так. Но, к сожалению, даже очень удобные функции - например, (у=1/х) - имеют отдельные точки разрыва. Докажите-ка, что (у=1/х) разрывна в точке (0)!
Г: - А что тут доказывать? Она даже не определена в нуле!
М: - Но, может быть, это - наше упущение? Нельзя ли ПРОДОЛЖИТЬ эту функцию в точке (х=0) таким значением (f(0)=а), что в итоге она станет всюду непрерывной?
Г: - Конечно, нельзя! Ведь график (у=1/х) СЛЕВА от нуля стремится к (-...), а справа - к (+...), так что около нуля этот график НЕЛЬЗЯ зажать в горизонтальную полосу НИКАКОЙ ширины! Уж тем более - в узкую полоску ширины (2е)!
М: - Верно! Кстати, во всех прочих точках функция (у=1/х) НЕПРЕРЫВНА, хотя выбор (d) по (е) для нее (как и для функции у=х^2) ЗАВИСИТ от той точки (х=а), в которой мы доказываем непрерывность. А теперь мы перейдем к гораздо худшей функции Дирихле (у=D(х)): той, которая НЕ ИМЕЕТ наглядного графика, поскольку она равна (0) в рациональных точках, и (1) в иррациональных точках. Что вы думаете о ее непрерывности?
Г: - Ясное дело! Она разрывна во ВСЕХ точках!
М: - Верно! А как это можно доказать?
Г: - Так видно же, что НИКАКОЙ "кусок графика" этой функции не умещается ни в какой полосе шириною меньше единицы!
М: - "Видно" - это удачное слово в процессе ДОГАДКИ, но вы же сами сказали, что у этой функции НЕТ явного графика! Оттого ваше утверждение о "невместимости" куска графика в узкую полоску нужно перевести на язык неравенств между числами. Вот если вы докажете, что в ЛЮБОЙ окрестности РАЦИОНАЛЬНОГО числа найдется ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ число, и наоборот - в любой окрестности иррационального числа найдется рациональное число, - тогда ваше рассуждение о повсеместной разрывности функции Дирихле станет строгим!
Г: - Над этим нужно подумать... Но, пожалуй, я смогу это доказать: я достаточно знаю о числах - рациональных и иррациональных!
М: - Тогда - в добрый час! Это вы сделаете сами. А нам вместе полезно разобрать еще один пример. Можете ли вы придумать функцию, которая разрывна во всех точках, КРОМЕ ОДНОЙ?
Г: - То есть, она непрерывна только в одной точке?
М: - Именно так!
Г: - Интересно... Пожалуй, можно взять что-нибудь вроде функции Дирихле, то есть разбросать значения будущей функции по графикам двух разных "хороших" функций, в зависимомти от того, рационально ли значение аргумента (х)...
М: - Идея хороша! Но какие функции подойдут для вашего замысла?
Г: - Ясно, какие! Любые две непрерывные функции, графики которых пересекаются только в ОДНОЙ точке! Например: (f(х)=х) и (g(х)=(-х)). Итоговая функция будет равна (х) во всех рациональных точках и (-х) во всех иррациональных точках. Тогда в нуле она непрерывна, а в любой другой точке - разрывна!
М: - Это верно! Надеюсь, что вы сами доведете доказательство вашего утверждения до победного конца на строгом (е-d)-языке.
А теперь нам пора переходить в МИР ПРОИЗВОДНЫХ. И опять я начну с геометрических вещей: я определю, что такое ПРЯМАЯ, КАСАТЕЛЬНАЯ к графику функции (у=f(х)) в точке (а;f(а)).
Это похоже на определение НЕПРЕРЫВНОЙ функции. Но там мы втискивали кусочек графика в узкую горизонтальную ПОЛОСКУ (прямоугольник), а здесь будем втискивать тот же кусочек в УЗКИЙ УГОЛ, биссектрису которого назовем КАСАТЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ к графику функции.
Формальное определение таково: прямая (у=кх+в) КАСАЕТСЯ графика функции (у=f(х)) в точке (а;f(а)), если для каждого числа (е>0) найдется число (d>0) такое, что из неравенства /х-а/<d следует неравенство: /f(x)-f(a)+k(a-x)/ < /e(x-a)/.
Если это свойство выполнено для некоторого числа (к), то (к) называется ПРОИЗВОДНОЙ функции (у=f(х)) в точке (х=а).
Г: - Лихо закручено! Но геометрический смысл тут несложный, так что я готов поверить: ваша алгебра выражает то же самое, что ваша геометрия. Кстати: следует ли из СУЩЕСТВОВАНИЯ производной ее единственность?
М: - Да, следует! Это нетрудно доказать расчетом, но я не буду тратить время на это. Кто захочет, тот сам проверит.
Г: - Тогда другой вопрос: следует ли из НЕПРЕРЫВНОСТИ функции, что ее график имеет КАСАТЕЛЬНУЮ ПРЯМУЮ? Или верно обратное заключение?
М: - ОБРАТНОЕ заключение ВЕРНО, а прямое - НЕТ. Вот простейший контрпример: (у=/х/). Легко доказать, что эта функция везде непрерывна. Но ее график около точки (0) имеет ИЗЛОМ, и загнать этот излом внутрь узкого угла с ЛЮБОЙ биссектрисой невозможно. Если удается загнать туда ПРАВУЮ половину графика (у = х), то не вмещается ЛЕВАЯ половина (у = -х), и наоборот.
Г: - Ага! Значит, ИМЕТЬ ПРОИЗВОДНУЮ - более сильное свойство функции, чем БЫТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ. А какое из этих свойств легче ДОКАЗАТЬ для конкретной функции?
М: - Гораздо легче проверить наличие ПРОИЗВОДНОЙ. Оттого понятия "производная" и "касательная прямая к графику" утвердились в математике гораздо раньше, чем понятие "непрерывная функция". Например, я утверждаю, что функция (у = х^n) в ЛЮБОЙ точке графика имеет производную, равную (n*x^(n-1)). Давайте докажем это!
Запишем число, близкое к (а), в виде (а+t), и составим разность значений двух функций: исходной (у = х..) и линейной (у = а.. +n*a...*t) в точке (х=a+t). Эта разность равна ((a+t).. -a.. -n*a...*t) =
= ((n(n-1)/2*t.. + n(n-1)(n-2)/6*t.. +...+t..).
Эту длинную сумму - многочлен от (t) - мы должны за счет выбора (t>0) сделать по модулю меньшей, чем произведение (е*t), для заданного (е>0). К счастью, все слагаемые в нашем многочлене от (t) имеют степени БОЛЬШЕ 1. Оттого наша задача разрешима: достаточно сделать КАЖДОЕ из слагаемых n(n-1)/2*t; n(n-1)(n-2)*t..; и так далее - до t... - меньшим, чем (е/n), где натуральное (n) фиксировано, (е>0) задано. Эта арифметическая задача вам, наверное, под силу.
Г: - Да, пожалуй: нужно решить каждое из (n-1) неравенств относительно (t), а потом выбрать НАИМЕНЬШЕЕ значение (t) из (n-1) полученных решений. Это легко! Что же мы доказали в итоге?
М: - Мы доказали, что каждая СТЕПЕННАЯ функция (у = х..) имеет производную в любой точке, то есть что график степенной функции имеет касательную прямую в каждой точке. Мы нашли явную ФОРМУЛУ этой производной, и, между прочим, доказали, что все степенные функции непрерывны во всех точках!
Г: - А как непрерывность следует из существования производной?
М: - Очень просто! Помните, как я вам обещал, что функция (у = х..) непрерывна в точке (х=2), и посоветовал для доказательства этого факта взять (d=е/5)? Я тогда уже знал, что производная этой функции в этой точке равна 4, и предложил взять в качестве (d) число (е/к), где модуль /к/ больше модуля производной от нашей функции в интересующей нас точке. Это правило годится для доказательства непрерывности ЛЮБОЙ функции в ЛЮБОЙ точке, где она имеет производную.
Г: - При условии, что мы умеем вычислить эту производную... Для каких функций это удается сделать, кроме степенной, которую мы уже одолели?
М: - Во-первых, легко доказать, что СУММА или ПРОИЗВЕДЕНИЕ двух функций, имеющих производные, также имеет производную. Для ЧАСТНОГО двух функций это тоже верно - в любой точке, где знаменатель не равен нулю. Далее: СЛОЖНАЯ функция, вроде sin(x..), имеет произодную, поскольку ее имеют промежуточные функции (у=sin(х)) и (у=х..). Наконец, легко вычислить производные от всех тригонометрических функций, а также от показательной функции, и от ОБРАТНЫХ к ним функций. Так что любая ЭЛЕМЕНТАРНАЯ функция имеет производную везде, кроме очевидных "экзотических" точек.
Г: - А как насчет "экзотических ФУНКЦИЙ" - вроде той, которая непрерывна лишь в одной точке?
М: - Такие примеры вы теперь можете строить сами - сколько вашей душе угодно будет! Нетрудно смастерить функцию, которая имеет производную только в ОДНОЙ точке, а во всех остальных точках она разрывна. А еще можно придумать функцию, которая ВСЮДУ НЕПРЕРЫВНА, но НИГДЕ не имеет производной! Но этот пример - очень трудный; Карл Вейерштрасс его осилил, а сумеете ли вы - не знаю...
Г: - Я тоже не уверен в своих силах - и зачем подражать лягушке, которая состязалась с волом? Вы лучше скажите: какие ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ по геометрии графиков функций становятся доступны человеку, усвоившему понятия и технику производных?
М: - Вот простой пример: умея вычислять производную, легко найти на графике функции все точки, где производная равна НУЛЮ. Чем замечательна касательная прямая в такой точке?
Г: - Она горизонтальна!
М: - Верно! Что можно сказать о ГРАФИКЕ функции в такой точке?
Г: - Видимо, функция имеет в этой точке МИНИМУМ... Или МАКСИМУМ?
М: - Возможно и то, и другое, и даже третье! Взгляните на график функции (у = х..): что происходит в нуле с нею и с ее производной?
Г: - Производная там равна нулю - но сама функция в этой точке монотонно возрастает!
М: - Вот именно. Оттого для понимания сути дела нужно проследить за ИЗМЕНЕНИЕМ ЗНАКА производной вблизи той точки, где она обращается в нуль. Кроме точек МИНИМУМА (где производная меняет знак с МИНУСА на ПЛЮС) и МАКСИМУМА (где знак производной меняется с ПЛЮСА на МИНУС), есть еще ТОЧКИ ПЕРЕГИБА: в них знак производной НЕ МЕНЯЕТСЯ, но график функции слева и справа лежит ПО РАЗНЫЕ СТОРОНЫ от касательной прямой.
Кстати, производная в точке перегиба может НЕ обращаться в нуль: взгляните на график функции (у = sin(х) возле точки (х=0)! Поиск точек перегиба требует расчета ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ от интересующей нас функции: она, по определению, есть производная от первой производной...
Г: - Но это же очень скучно: отдельно разбирать каждую точку графика функции! Неужели нельзя изучить весь график сразу как одно целое?
М: - Можно! Такая работа называется ГРАФИЧЕСКИМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ, или ГРАФИЧЕСКИМ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ. Начнем с примера. Пусть f(х) = (ах^2+вх+с). График этой функции - хорошо знакомая вам парабола. Попробуем построить графики ДВУХ функций: g(х), которая является ПРОИЗВОДНОЙ от (f(х)), и h(х), ПРОИЗВОДНАЯ ОТ КОТОРОЙ равна f(х).
Давайте забудем на время этой работы известную ФОРМУЛУ функции f(х)! Будем танцевать от ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ее графика и построим ПРИБЛИЖЕННЫЕ графики функций g(х) и h(х).
Г: - Хорошо, попробуем!
М: - Положим для определенности, что "рога" нашей параболы торчат вверх, а ее вершина лежит в точке (2; -1). Что вы можете сказать о графике функции g(х) - производной функции f(х)?
Г: - Сначала рассмотрим график f(х) на ЛЕВОЙ половине числовой оси: от (-...) до (+2). Там f(х) монотонно убывает. Значит, ее производная g(х) на этом луче ОТРИЦАТЕЛЬНА. Только в точке (х=2) она обращается в нуль, а затем становится ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ на всем луче (2;...).
М: - Верно! Со ЗНАКАМИ производной вы разобрались. А что можно сказать о МОДУЛЕ производной?
Г: - Видно, что при движении от (-...) до (х=2) КРУТИЗНА параболы УМЕНЬШАЕТСЯ. Значит, модуль производной g(х) УБЫВАЕТ на луче (-...; 2), а потом вновь ВОЗРАСТАЕТ на луче (2; ...). Видно, что это возрастание ничем не ограничено: то есть, при (х-...) модуль производной /g(х)/ стремится к бесконечности.
М: - Все верно! Этого достаточно, чтобы нарисовать приближенно ГРАФИК функции (у=g(х)). Сделайте это!
Г: - Примерно так: .................. Но это - очень грубый рисунок! Мы же знаем, что истинный график функции f(х) - ПАРАБОЛА, заданная многочленом степени 2. Значит, ее производная - ЛИНЕЙНАЯ функция. То есть, ее точный график - ПРЯМАЯ линия!
М: - Я вам не зря говорил: забудьте ФОРМУЛУ функции, опирайтесь только на ее ГРАФИК! В итоге вы нарисовали график производной от ЛЮБОЙ функции, график которой ПОХОЖ на квадратичную параболу со сдвинутой вершиной. Например, так можно сдвинуть график функции (у=х^4): на чертеже вы на глазок не отличите эту кривую от привычной параболы.
Г: - Так чей же график я сейчас нарисовал - под видом "производной от параболы"?
М: - Вы нарисовали ТО ОБЩЕЕ, что будет у графиков производных от ЛЮБЫХ функций, графики которых похожи на обычную параболу! Если график функции был обычной параболой, то график ее производной - прямая линия. Если же я подсунул вам вместо параболы (у=х^2) похожий график функции (у=х^4), то ее производная будет (у=4х^3). Ее график тоже похож на то, что вы нарисовали. Только в точке пересечения с осью (Х) касательная прямая к графику производной функции g(х) ГОРИЗОНТАЛЬНА, так что этот график КОСНЕТСЯ оси (х), пересекая ее, а не пересечет ее под острым углом, как прямая (у=ах+в).
Вот какие разные случаи может нечаянно охватить честно нарисованный приближенный график производной от заданной функции!
Г: - Значит, мы с вами вели мелкие разговоры на очень глубоком месте!
М: - Воистину так! Хотите продолжить беседу в том же духе?
Г: - Отчего бы нет? Продолжим!
М: - Теперь попробуйте нарисовать график функции (у=h(х)), производная от которой имеет своим графиком ту параболу, с которой мы начали разговор!
Г: - Это будет потруднее, но попробуем! Сначала разобьем ось (Х) на три интервала - согласно ЗНАКАМ функции f(х). На левом луче (f(х)>0), на среднем интервале (f(х)<0), на правом луче (f(х)>0). Это значит, что искомая функция (у=h(х) ВОЗРАСТАЕТ на левом луче, УБЫВАЕТ на среднем интервале, потом вновь ВОЗРАСТАЕТ на правом луче. Ясно, что она имеет МАКСИМУМ на стыке левого луча со средним интервалом, и МИНИМУМ - на стыке интервала с правым лучом! Стало быть, ГРАФИК искомой функции (у=h(х)) выглядит примерно так:
М: - Верно! Только точек ИЗЛОМА на этом графике НЕТ и быть не может: ведь функция (у=h(х) имеет производную (у=f(х) во ВСЕХ точках! На графике у=h(х) будут ДВА ГЛАДКИХ ГОРБА: один максимум и один минимум.
Г: - Согласен!
М: - Тогда еще один коварный вопрос: сколько разных решений имеет уравнение (h(х)=0)?
Г: - На моем чертеже видно, что их ТРИ!
М: - А вы подумайте: что будет с графиком исходной функции (у=f(х)), если вы СДВИНЕТЕ график построенной вами функции (у=h(х)) вверх или вниз вдоль оси (Y)?
Г: - То есть, если добавить к функции (у=h(х)) константу? Ее производная (у= f(х)) при этом НЕ ИЗМЕНИТСЯ! Значит, функция (у=h(х) НЕ ОДНОЗНАЧНО восстанавливается по известной функции (у=f(х))?
М: - Совершенно верно! Он определен с точностью до ПОСТОЯННОГО СЛАГАЕМОГО. Оттого уравнение (h(х)=0) в вашем случае может иметь либо ТРИ разных корня, либо ОДИН корень. Кстати: теперь полезно вспомнить ТОЧНУЮ ФОРМУЛУ исходной функции (у=f(х)) и написать ФОРМУЛУ (у=h(х)).
Г: - Вначале был некий многочлен степени 2. Значит, в итоге получится некий многочлен степени 3.
М: - Верно! Вот вы и нарисовали график ПРОИЗВОЛЬНОГО кубического многочлена. Он заметно отличается от ПРОСТЕЙШЕГО графика (у=х^3), который у вас получился на первом этапе работы, когда вы нечаянно графически продифференцировали функцию (у=х^4). Теперь вы видите разницу между ними?
Г: - Вижу! График "ЧИСТОГО куба" имеет ОДНУ точку ПЕРЕГИБА, но не имеет ни минимумов, ни максимумов. График ОБЩЕГО кубического многочлена имеет ОДИН минимум и ОДИН максимум, зато он не имеет перегибов!
М: - Не так! Общий кубический график ИМЕЕТ один перегиб (между точками мимимума и максимума), но в точке перегиба касательная к графику НЕ горизонтальна, а НАКЛОННА!
Ну вот: ценою немалых усилий вы научились ДИФФЕРЕНЦИРОВАТЬ либо ИНТЕГРИРОВАТЬ графики функций "на глазок". Дальше вы можете упражняться в свое удовольствие! Например, выясните: какова форма графика произвольного многочлена степени 4? Или напишите уравнение спины двугорбого верблюда! И так далее: дорогу осилит идущий!
