База рефератов

Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы.

В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.

Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.

Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij Î R

Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.

Подстановка t = 1 2 … n называется взаимно-однозначное

t (1) t (2) …t (n)

отображение множества М={1,2,...,n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!

Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:

-если у подстановки четное число инверсии, то она четная;

-если-нечетное число инверсий, то она нечетная.

Для обозначения четности подстановки используется символ sgn(t ) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1) t = E (единичная)-четная; 2) sgn (t --1 ) = sgn t ;

3) одна транспозиция меняет четность подстановки.

Опр.1.Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn (t )

где t -подстановка из индексов элементов произведения ,т.е.

|A|=å sgn(t )a1t (1) a2t (2) …ant (n) , A=(aij)n*n

приняты также обозначения для определителя: def A, Δ.

Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:

1° . |A|=|At|,где Аt -трансионированная;

2° . Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;

3° . Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

4° . Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.

5° . Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

6° . Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее

определитель.

7° . Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i(a1+...ak b1+...bk c1+....ck),то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей,каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы.

8° . Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.

и другие.

Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента aij (Mij) и его алгебраического дополнения (Aij) .

Минором Mij элемента aij матрицы называется определитель матрицы,

полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число (-1)i+j Мij

Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца).

Теорема 3 . |A|= a1jA1j +a2jA2j +....+anjAnj или

|A|=ai1Ai1 +ai2Ai2 +...+ain Ain .

Доказательство разобьем на три случая:

Cлучай 1. a11…a1n

|A|= a21…a2n = ann Mnn

………

0……ann

Воспользуемся для доказательства определением определителя

|A|=å sgn(t )a1t (1) a2 t (2)…a n-1,t (n-1) a nt (n)

Так как в n-ой строке все элементы кроме ann нули, то все слагаемые в определителе кроме ann равны нулю. Тогда определитель такой матрицы равен:

sgn(t ) a1t (1) a 2 t (2)....a n-1,t (n-1) a n n =a n n ( sgn(t ’) a 1t (1) a 2 t (2) ...a n-1,t (n-1)),где

t = 1 2 ... n-1 n t ’ = 1 2 ... n-1

t (1) t (2) ... t (n-1) t (n) , t (1) t (2) ... t (n) , т.к

t = 1 2 ... n-1 n = 1 2 .... n

t (1) t (2) ... t (n-1) t (n ) t (1) t (2) ... t (n) ,то sgn (t ) =sgn(t ’).

Мы видим, что в скобках определитель порядка (n-1),полученного вычеркиванием n-ой строки и n-ого столбца. Поэтому

|A|=annMnn, что и требовалось доказать.

Случай 2.

a 11 ... a 1j .. a 1n

|A|= ................................. = a ij A ij

0 ... a ij ... 0

..................................

a n1 ... a nj ... a nn

Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим:

A11 ... a1j ... a1n a11 .. a1j ..a1n a11 .. a1n .. a1j

A = ....................... = n-i .................... = n-i n-j .................... =

0 .. aij ... 0 an1 .. anj ..ann an1 .. ann ..anj

an1 .. anj ... ann 0 .. aij .. 0 0 .. 0 .. aij

= 2n- Mij*aij= i+jaijMij=aijAij

Случай 3. |A|=a1iA1i +a2iA2i +....+aniAni.

A11 .. a1j .. ann ... a1j+0+..+0 ... .. a1j .. .. 0 .. ... 0

A21 .. a2j .. a2n ... 0 +a2j+..+0 .. .. 0 .. .. a2j .. ... 0

A = ..................... = ......................... = ......... + .......... +..+ ....... =

an1 .. anj .. ann ... 0+0+..+anj ... .. 0 .. .. 0 .. ...anj

= a1jA1j+a2jA2j+..+anjAnj

Рассмотренная теорема позволяет вычислить определитель матрицы любого порядка .Теория определителей имеет приложительное значение, то есть используется в качестве средства для решения вопрос в математике. В частности, она лежит в основе решения систем линейных уравнений как одного из способов. Возможность использования теории определителей для решения систем зафиксированы теоремой Крамера.

Теорема 4. (Крамера). Если |A| не равен нулю, то система å aijxj=bi, где i=1,n; j=1,n имеет единственное решение, которое находится по формуле:

xi= , где = A ,

D xi-определитель матриц, полученных из А заменой i-столбца столбцом свободных членов.

Пусть (1) å aijxj=bj, i=j=1,n, |A| ¹ 0. Запишем систему (1) в виде матричного уравнения (2): AX=b, где А-основная матрица системы, .

X1 b1

X= X2 , b = b2

.. ..

xn bn

Если |A| ¹ 0® $ А-1 Þ А-1АХ=А-1b Þ X=A-1 b. Известна теорема утверждающая, что A-1 = A* , где A* -присоединенная матрица к матрице A, она состоит из алгебраических дополнений элементов, расположенных в столбцах. Тогда:

A11 A21 .. An1 b1 b1A11+b2A22+..+bnAn1

X= A* b = A12 A22 .. An2 b2 = b1A12+b2A22+..+bnAn2 =

........................ ... ...................................

A1n A2n .. Ann bn b1A1n+b2A2n+..+bnAnn

x1

= x2 ,

......

xn

что и позволит получить формулу: Xi= , где = A , i=1,n

Вопрос 4. Бинарные отношения.

Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения.

В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим прямое произведение двух множеств. A*B={a,b}, aÎ A, bÎ B}. Мы имеем множество упорядоченных пар. Есть смысл рассматривать его подмножество, которое и носит название “бинарное отношение”.

Опр.1 Бинарным отношением, заданным на множестве А, называется подмножество прямого произведения А*А. В силу своей природы, бинарные отношения являются множеством упорядоченных пар элементов из А.

Обозначения: W={ ( a,b) /,a,bÎ A} ; aWb, a,bÎ A; ( a,b) Î W,где a,bÎ A

Например, бинарные отношения являются:

1. "^ "на множестве прямых.

2. "=" на множестве чисел.

3. " @ " изоморфизм на множестве алгебр.

4. " ~ " эквивалентность систем и др.

Бинарные отношения могут обладать свойствами:

1) рефлексивность: " aÎ A, aWa;

2) симметричность: " a,bÎ A, aWbÞ bWa;

3) транзитивность: " a,b,c Î A,aWb и bWcÞ aWc

4) связность: " a,b

Алгеброй называется упорядоченная пара множеств <A,V>

Группой называется алгебра <G, o >

Подмножество К группы <G, * > называется подгруппой, если оно само является группой <K, * >

1. < K, +>

Пусть a – алгебраический элемент степени n >

Обозначим множество всех многочленов с коэффициентами из кольца K через K[x] и рассмотрим алгебру <K[x], +, ´ >

Теорема 6. Алгебра многочленов <K[x], +, ´ >

f(x)=(-an)xn+...+(-a1)x+(-a0)=-f(x) – называют противоположным многочленом для многочлена f(x), он выполняет роль противоположного элемента в алгебре. Так как все аксиомы кольца выполняются, то <K[x],+,´ >

Пусть deg f(x)>1, тогда по основной теореме алгебры он обладает корнем. Пусть таким корнем будет х=а. По следствию из теоремы Безу: f(x)=(x-a)f1(x). Так как deg(x-a)=1, degf(x)>1, deg(x-a)f1(x)=deg(x-a)+degf1(x), то degf(x)>

Пусть a - алгебраический элемент над P, а Р(a ) – простое алгебраическое расширение P, пусть степень a равна n>

Любое n Î N , n >

(7) Пусть n Î N , n >

Пусть дано натурально n, если оно простое, то это и есть его разложение. Если n составное, тогда n = вс, где в,с Î N и меньше n. По предположению индукции разложение их на простые множители существует, поэтому оно существует и для n. На основании принципа математической индукции, можно утверждать истенность теоремы для любого n Î N , n >

Пусть n Î N имеет делители, отличные от 1. Обозначим тот делитель, который будет наименьшим среди всех делителей. Пусть это натуральное число к, т.е. n = к . m; к, m Î N , к >