1.1)Предмет динамики. Основные понятия и определения: масса, мат.точка, сила.
2) Дифф.ур-я движения мат.точки в поле центральной силы. Формула Бине.
1) Массу Ньютон определяет как количество материи, а кельвин как количество энергии.
Мат.точкой называется материальное тело размерами которого при изучении данного движения можно пренебречь.
Мат.точка имеет массу.
Сила – векторная величена определяющая меру взаимодействия между двумя телами.
2)
Дифференциальное уравнение траектории точки в форме Бине.
2.1) З-ны механики Галелея-Ньютона. Инерциальная система отсчета. Задачи динамики.
2) Движение мат.точки в поле тяготения Земли.
1)
I-й з-н (З-н Инерции): Мат.точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор пока действие других тел не изменит этого состояния.
II-й з-н (Основной з-н движения): Модуль ускорения мат.точки пропорционален модулю приложенной к ней силы, а направление ускорения совпадает с направлением действия на неё силы.
III-й з-н (З-н дейтвия и противодействия): Две мат.точки действуют друг на друга с силами равными по модулю и направленные вдоль прямой соеденяющей эти точки – в противоположные стороны.
Согласно з-ну всемирного тяготения сила тяготения пропорциональна силе тяжести, т.е. массе тяготеещей.
Галелей установил, если свободное падение тел происходит в пустоте и не далеко от поверхности Земли, то оно совершается с одним и тем же ускорением g-9,81 м/с^2 => из второго закона Ньютона.
P=mg, где P – вес тела
M – масса Земли; R – радиус Земли; h<<R
Задачи динамики:
Первая задача динамики состоит в том, что зная закон движения и массу мат.точки необходимо найти силы действующие на свободную точку или реакции связей, если точка не свободна; в последнем случае активно действующие силы должны быть заданы.
Вторая задача динамики: Зная действующие на мат.точку силы, её массу, начальное положение и скорость определить закон движения мат.точки.
2)Если на мат точку M действует центральная сила P , то момент количества движения этой точки Lo относительно центра силы O постоянен и точка движется в плоскости I, перпендекулярной Lo. В этом случае Lo=const
3.1) Дифференциальные ур-я движения свободной и несвободной точки в декартовых координатах и в проекциях на оси естественного трёхгранника.
2) Сохранение момента количества движения мат.точки в случае центральной силы. Секторная скорость. Закон площадей.
1) Для свободной материальной точки.
В проекциях на оси координат: На оси естественного трёхгранника:
2) Моментом количества движения материальной точки отоносительно центра называется вектор,модуль которого равен произведению модуля количества движения на кратчайшее расстояние от центра до линии действия вектора количества движения, перпендекулярного плоскости, в которой лежат линии и направленный так, чтобы глядя от его конца видеть движение, совершающееся против часовой стрелки.
ТЕОРЕМА: Производная по времени от момента количества даижения материальной точки относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов всех сил, действующих на точку.
4.1)Две основные задачи динамики для мат.точки. Решение первой задачи динамики. Пример.
2)Теорема об изменении кинетического момента механической системы по отнашению к неподвижному центру и в её движении по отнашению к центру масс.
Первая задача динамики состоит в том, что, зная закон движения и массу материальной точки необходимо найти силы действующие на свободную точку или реакции связи, если точка несвободна. В последнем случае активно действующие силы должны быть заданы.
Вторая задача динамики: зная действующие на материальную точку силы, её массу, начальное положение и скорость определить закон движения материальной точки.
Решение первой задачи.
Пусть задан закон движения материальной точки в виде,
А так же её равнодействующая и масса m.
Из дифференциального уравнения движения материальной точки в
декартовой системе координат следует, что:
Аналогично решается первая задача для свободной точки, когда связи отсутствуют, а по известным уравнениям движения необходимо найти действующие на точку силы. В этом случае:
$IMAGE12$
Пример.
$IMAGE13$
Груз весом Р поднимается вертикально вверх по закону
Определить натяжение тросса.
$IMAGE16$ Дано: Решение.
$IMAGE17$
$IMAGE18$
2)ТЕОРЕМА: Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра равен главному моменту всех внешних сил, действующих на систему относительно того же центра.
5.1)Решение I-й задачи динамики. Пример.
2)Теорема об изменении количества движения точки и система в дифф.и конечной формах.
1)Решение первой задачи.
Пусть задан закон движения материальной точки в виде,
А так же её равнодействующая и масса m.
Из дифференциального уравнения движения материальной точки в
декартовой системе координат следует, что:
Аналогично решается первая задача для свободной точки, когда связи отсутствуют, а по известным уравнениям движения необходимо найти действующие на точку силы. В этом случае:
$IMAGE27$
Пример.
$IMAGE13$
Груз весом Р поднимается вертикально вверх по закону
Определить натяжение тросса.
$IMAGE16$ Дано: Решение.
$IMAGE17$
$IMAGE18$
2)ТЕОРЕМА: Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра равен главному моменту всех внешних сил, действующих на систему относительно того же центра.
2)З-н сохранения количества движения:
Если геометрическая сумма всех внешних сил, приложенных к механической системе = 0, то её вектор количества движения постоянен. Воспользуемся дифф.формой теоремы об изменении количества движения механической системы.
.б) Если алгебраическая сумма проекций на какую либо ось всех действующих сил системы = 0, то проекция её вектора количества движения на эту ось есть величена постоянная.
6.1)Решение II-й задачи динамики. Постоянные интегрирования и их определения по начальным условиям. Пример.
2)Кинетический момент механической системы относительно центра и оси. Кинетический момент твёрдого тела вращающегося относительно оси.
$IMAGE35$
1)Для решения этой задачи целесообразно воспользоваться дифф.ур-ми мат.точки в виде:
$IMAGE36$
Поскольку действие силы известны, то => известны и правые части этих ур-й. Интегрирование их дважды по времени приводит их к 3-м ур-м содержащим 6 произвольным постонным:
$IMAGE37$
Значе ния этих постоянных могут быть просто найдены с помощью нач.усл., т.е. если известно:
$IMAGE38$
Подставив найденные значения в постоянные интегрирования в общее решение дифф-х ур-й получили закон движения точки:
Отсюда => , что мат.точка под действием одной и той же силы может совершать целый класс движений определённый начальными условиями.
Например: движения свободной мат.точки под силами тяжести – семейств кривых 2-го порядка.
Начальные условия позволяют учесть влияние на движение мат.точки сил дейсвовавших на неё до того момента, который принят за начальный.
2)Закон сохранения кинетического момента механической системы:
1)Если сумма моментов относительно данного центра всех внешних сил = 0, то кинетический момент механической системы сохраняет модуль и направление в пространстве
2)Если сумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно некоторой оси = 0, то кинетический момент механической системы относительно этой оси есть величина постоянная.
Частные случаи:
$IMAGE41$
Система вращается вокруг неподвижной оси в этом случае кинетический момент механической системы =
,и если сумма моментов относительно этой оси равна нулю, то
7.1)Свободные колебания мат.точки. Частота и период колебаний. Амплитуда и начальная фаза.
2)Потенциальное силовое поле и силовая функция. Выражение проекций силы потенциального поля с помощью силовой функции.
$IMAGE42$
1)
$IMAGE43$
8.1)Затухающие колебания мат.точки. Случай апериодического движения.
2)Момент инерции твёрдого тела относительно оси любого направления. Центробежные моменты инерции.
$IMAGE44$
1)
$IMAGE45$
2)
9.1)Вынужденные колебания мат.точки. Резонанс.
2)Количество движения мат.точки и механической системы. Выражение количества движения механической системы через массу системы и скорость центра масс.
1)Движение мат.точки называется вынужденным если на ряду с востанавливающей силой на неё действует возмущающая сила.
$IMAGE46$
С целью упрощения будем считать, что возмущающая сила изменяется по гармоническому закону.
Явление сильного возрастания амплитуды при совпадении частоты возмущающей силы с частотой собственных колебаний называется резонансом.
2) Количеством движения мат точки называется вектор, имеющий направление вектора скорости, и модуль, равный произведению массы точки m на модуль скорости её движения v.
Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех мат точек этой системы.
10.1)Дифф.ур-я поступательного движения судна при сопротивлении, пропорциональном скорости.
2)Момент количества движения мат.точки относительно центра и оси.
$IMAGE
