ВВЕДЕНИЕ
Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа. Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток. Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции. Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода Зейделя для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным бигармоническим уравнением.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть у нас есть бигармоническое уравнение : 2 U = f
Заданное на области G={ (x,y) : 0<=x<=a, 0<=y<=b }. Пусть также заданы краевые условия на границе области G .
U = 0 Y x=0 b Uxxx = 0 x=0 G Ux = 0 x=a Uxxx = 0 0 a X x=a
U = 0 U = 0 y=0 y=b Uy = 0 Uxx + Uyy = 0 y=0 y=b y=b
Надо решить эту задачу численно. Для решения будем использовать итерационный метод Зейделя для решения сеточных задач. По нашей области G построим равномерные сетки Wx и Wy с шагами hx и hy соответственно . Wx={ x(i)=ihx, i=0,1...N, hxN=a } Wy={ y(j)=jhy, j=0,1...M, hyM=b } Множество узлов Uij=(x(i),y(j)) имеющих координаты на плоскости х(i),y(j) называется сеткой в прямоугольнике G и обозначается : W={ Uij=(ihx,jhy), i=0,1...N, j=0,1...M, hxN=a, hyM=b } Сетка W очевидно состоит из точек пересечения прямых x=x(i) и y=y(j). Пусть задана сетка W.Множество всех сеточных функций заданных на W образует векторное пространство с определённом на нём сложениемфункций и умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно определитьразностные или сеточные операторы. 0ператор A преобразующий сеточную функцию U в сеточную функцию f=AU называется разностным или сеточным оператором. Множество узлов сетки используемое при написании разностного оператора в узле сетки называется шаблоном этого оператора. Простейшим разностным оператором является оператор дифференцирования сеточной функции, который порождает разностные производные. Пусть W - сетка с шагом h введённая на R т.е.
W={Xi=a+ih, i=0, + 1, + 2...}
Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции Yi=Y(Xi) , Xi из W, определяется по формулам :
1Yi = Yi - Yi-1 , 2Yi=1Yi+1 h
и называются соответственно левой и правой производной. Используется так же центральная производная :
3Yi=Yi+1 - Yi-1 = (1+2)Yi 2h 2
Разностные операторы A1, A2, A3 имеют шаблоны состоящие 2х точек и используются при апроксимации первой производной Lu=u’ . Разностные производные n-ого порядка определяются как сеточные функции получаемые путём вычисления первой разностной производной от функции, являющейся разностной производной n-1 порядка, например :
Yxxi=Yxi+1 - Yxi = Yi-1-2Yi+Yi+1 2 h h
Yxxi= Yxi+1-Yxi-1 = Yi-2 - 2Yi+Yi+ 2 2 2h 4h
которые используются при апроксимации второй производной. Соответствующие разностные операторы имеют 3х точечный шаблон. Анологично не представляет труда определить разностные производные от сеточных функций нескольких переменных. Аппроксомируем нашу задачу с помощью разностных производных. И применим к получившейся сеточной задаче метод Зейделя.
МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ
Одним из способов решения сеточных уравнений является итерационный метод Зейделя. Пусть нам дана система линейных уравнений :
AU = f или в развёрнутом виде :
M aijUj = fi , i=1,2...M i=1
Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональные элементы матрицы А=(aij) отличны от нуля (aii<>0) записывается в следующем виде :
i (k+1) M (k) aijYj + aijYj = fi , i=1,2...M j=1 j=i+1 (k) где Yj - jая компонента итерационного приближения номера k. В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор. Определение (k+1)-ой итерации начинается с i=1
(k+1) M (k) a11Y1 = - a1jYj +f1 j=2
(k+1) Так как a11<>0 то отсюда найдём Y1. И для i=2 получим :
(k+1) (k+1) M (k) a22Y2 = - a21Y1 - a2jYj + f2 j=3
(k+1) (k+1) (k+1) (k+1) Пусть уже найдены Y1 , Y2 ... Yi-1 . Тогда Yi находится из уравнения :
(k+1) i-1 (k+1) M (k) aiiYi = - aijYj - aijYj + fi (*) j=1 j=i+1
Из формулы (*) видно , что алгоритм метода Зейделя черезвычайно прост. Найденное по формуле (*) значение Yi размещается на месте Yi. Оценим число арифметических действий, которое требуется для реализации одного итерационного шага. Если все aij не равны нулю, то вычисления по формуле (*) требуют M-1 операций умножения и одного деления. Поэтому реализация
2 одного шага осуществляется за 2M - M арифметических действий. Если отлично от нуля лишь m элементов, а именно эта ситуация имеет место для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного шага потребуется 2Mm-M действий т.е. число действий пропорционально числу неизвестных M. Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме. Для этого представим матрицу A в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольной матриц :
A = D + L + U
где 0 0 . . . 0 0 a12 a13 . . . a1M a21 0 0 0 a23 . . . a2M a31 a32 0 0 . L = . U=
i<>
(x) , x >
eps>
|