Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Инверсия плоскости
в комплексно сопряженных координатах
Выполнила: студентка V курса
математического факультета
Дмитриенко Надежда Александровна
Научный руководитель:
старший преподаватель кафедры
алгебры и геометрии
Александр Николаевич Суворов
Рецензент:
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___»__________2005 г. Зав. кафедрой В.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров
2005
Содержание
Введение........................................................................................................... 3
Глава 1. Основные положения теории инверсии........................................... 4
1.1. Общие сведения о комплексной плоскости......................................... 4
1.2. Определение инверсии – симметрии относительно окружности........ 5
1.3. Формула инверсии в комплексно сопряженных координатах......... 11
1.4. Неподвижные точки и окружность инверсии.................................... 11
1.5. Образы прямых и окружностей при обобщенной инверсии............ 12
1.6. Свойства обобщенной инверсии........................................................ 19
Глава 2. Применение инверсии при решении задач
и доказательстве теорем................................................................. 30
2.1. Применение инверсии при решении задач на построение............... 30
2.2. Применение инверсии при доказательстве........................................ 41
Заключение.................................................................................................... 43
Библиографический список........................................................................... 44
Введение
В наш век современных технологий так и хочется привлечь компьютер для решения задач, в частности, геометрических. Было бы замечательно, если бы от пользователя требовалось только занести в программу нужные данные, а последняя сама бы все рассчитала и выдала, к примеру, радиус и центр искомой окружности. Но вся проблема в том, что программа может работать только с координатами. И есть смысл перевода наиболее эффективных с точки зрения решения задач преобразований, в число которых входит и инверсия, на язык координат. Наиболее просто это получается на комплексной плоскости. Изучению преобразования инверсии комплексной плоскости и посвящена эта дипломная работа.
Цель работы состоит в следующем: обобщить и систематизировать основные факты об инверсии комплексной плоскости и показать применение этого преобразования при решении задач и доказательстве теорем.
Поставленная цель предполагала решение следующих задач:
· вывод комплексной формулы инверсии;
· доказательство основных свойств инверсии на комплексной плоскости;
· решение нескольких задач при помощи инверсии комплексной плоскости;
· доказательство ряда теорем при помощи инверсии комплексной плоскости.
Оказалось, что не так много специальных работ по теме. Инверсия комплексной плоскости оказалась крайне слабо освещена в литературе по сравнению с инверсией евклидовой плоскости. Поступали следующим образом: брали известный факт из евклидовой плоскости, а потом доказывали его методом комплексно сопряженных координат. Чаще всего такие доказательства были понятнее и короче, чем исходные.
Глава 1
Основные положения теории инверсии
1.1. Общие сведения о комплексной плоскости. Зададим на плоскости прямоугольную декартову систему координат 0xy. Тогда каждому комплексному числу z, представленному в алгебраической форме 
, можно однозначно поставить в соответствие точку М плоскости с координатами 
. Комплексное число z называют комплексной координатой соответствующей точки М и пишут: 
.
Следовательно, множество точек евклидовой плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с множеством комплексных чисел. Эту плоскость называют плоскостью комплексных чисел.
Все необходимые сведения об этой плоскости очень хорошо даны в книге Я. П. Понарина [3]. Здесь приведем лишь некоторые формулы, взятые из того же источника, использованные в работе.
Расстояние между двумя точками с координатами а и b равно 
.
Уравнение прямой в канонической форме: 
, $IMAGE6$.
Уравнение окружности с центром в точке s и радиусом r: $IMAGE7$. Также часто используют запись $IMAGE8$, $IMAGE9$, $IMAGE10$, где центр $IMAGE11$, радиус $IMAGE12$.
Скалярное произведение векторов: $IMAGE13$.
Коллинеарность трех точек с координатами а, b и с: $IMAGE14$.
Критерий коллинеарности векторов: $IMAGE15$.
Расстояние от точки с координатой z0 до прямой , $IMAGE6$: $IMAGE18$.
Критерий параллельности двух прямых $IMAGE19$ и $IMAGE20$, заданных в канонической форме: $IMAGE21$.
Критерий перпендикулярности двух прямых $IMAGE19$ и $IMAGE20$, заданных в канонической форме: $IMAGE24$.
Двойное отношение четырех точек плоскости с координатами а, b, с и d: $IMAGE25$; аргумент w равен ориентированному углу между окружностями abc и abd.
Критерий принадлежности четырех точек одной окружности или прямой: $IMAGE26$.
Критерий ортогональности окружностей $IMAGE27$, $IMAGE28$ и $IMAGE29$, $IMAGE30$: $IMAGE31$.
Параллельный перенос на вектор с координатой r: $IMAGE32$.
Гомотетия с центром s и коэффициентом s: $IMAGE33$, $IMAGE34$.
Осевая симметрия с осью симметрии $IMAGE35$, где $IMAGE36$: $IMAGE37$.
Центральная симметрия с центром $IMAGE38$: $IMAGE39$.
1.2. Определение инверсии – симметрии относительно окружности.[1]
Определение 1. Углом между двумя окружностями называется угол между касательными к окружностям в точке их пересечения.
Если окружности не имеют общих точек, то угол между ними не определен.
Определение 2. Углом между окружностью S и прямой l называется угол между прямой l и касательной к окружности S в точке пересечения этой окружности с l.
Опять же, если прямая и окружность не имеют общих точек, то угол между ними не определен.
Из определения 2 следует, что окружности, центры которых лежат на данной прямой l, и только эти окружности, перпендикулярны к прямой l.
Теорема 1. Все окружности, перпендикулярные прямой l и проходящие через точку А, проходят и через точку В, симметричную точке А относительно прямой l.
$IMAGE40$□ Рассмотрим произвольную окружность с центром на прямой l, проходящую через точку А. Введем систему координат таким образом, что прямая l является действительной осью, а начало координат располагается в центре нашей окружности, и радиус ее равен 1.
Действительная ось имеет уравнение $IMAGE41$, и формула осевой симметрии относительно l будет $IMAGE42$. Окружность имеет уравнение $IMAGE43$.
Если точка А имеет координату а, то симметричная ей точка В будет иметь координату $IMAGE44$. Докажем, что она тоже лежит на окружности.
Действительно, поскольку А ей принадлежит, то $IMAGE45$, что и означает принадлежность точки В( $IMAGE44$) этой окружности. ■
Если А не лежит на действительной оси, то больше общих точек у пучка окружностей, проходящих через А и перпендикулярных l, нет. Если бы была еще общая точка С, то рассматриваемые окружности проходили бы через точки А, В и С, то есть все совпадали бы.
Если А лежит на действительной оси, то у окружностей также больше нет общих точек, поскольку центр их лежит на этой оси, и если есть еще одна общая точка В (не лежащая не действительной оси, иначе окружности банально совпадут), то есть еще одна общая точка – симметричная ей, и у окружностей есть три общие точки, то есть они все совпадут, что невозможно.
Значит, если окружности перпендикулярны прямой l и проходят через точку А, и точка В симметрична точке А относительно прямой l (точки А и В могут совпадать), то это единственные общие точки этих окружностей.
Поэтому можно дать такое определение симметрии относительно прямой.
Определение 3. Точки А и В называются симметричными относительно прямой l, если все окружности, перпендикулярные прямой l и проходящие через точку А, проходят и через точку В.
Введем теперь понятие симметрии относительно окружности. Докажем сначала следующую теорему.
Теорема 2. Все окружности, перпендикулярные данной окружности Σ и проходящие через данную точку А, не лежащую на Σ, проходят одновременно и через некоторую точку В, отличную от точки А.
$IMAGE47$□ Рассмотрим некоторую окружность w, удовлетворяющую нашим условиям.
Введем систему координат таким образом, что начало координат располагается в центре окружности Σ и радиус ее равен 1, а точка А лежит на действительной оси.
Тогда Σ задается уравнением $IMAGE43$, w задается уравнением $IMAGE7$, где s – координата центра, r – радиус. Перпендикулярность окружностей дает равенство $IMAGE50$. Раз А лежит на w, то верно $IMAGE51$, а с учетом предыдущего равенства $IMAGE52$.
Точка А, по условию, не лежит на окружности Σ, и А лежит на действительной оси, поэтому $IMAGE53$ и $IMAGE54$, то есть $IMAGE55$, откуда $IMAGE56$. Последнее число, очевидно, тоже является действительным. Тогда докажем, что точка с координатой $IMAGE57$ лежит на w, то есть верно $IMAGE58$. Но это равносильно $IMAGE59$, или $IMAGE60$, что верно. Значит, точка с координатой $IMAGE57$ лежит на w. Так как она отлична от точки А, а окружность w бралась произвольно, то мы нашли другую общую точку всех наших окружностей, что и требовалось. ■
Заметим, что точка А не может совпадать с центром окружности Σ, поскольку тогда касательная к w будет иметь с последней две общие точки, что невозможно.
Естественно, что других общих точек у окружностей, перпендикулярных окружности Σ и проходящих через точку А, не лежащую на Σ, нет, поскольку тогда пучок этих окружностей проходил бы через три точки, то есть все окружности бы совпадали.
Заметим также, что точки с координатами 0, а и $IMAGE62$ коллинеарны. Две последние точки лежат по одну сторону от центра Σ. Причем если А лежит внутри окружности Σ, то В – вне ее, и наоборот. Также произведение расстояний от этих точек до центра окружности постоянно и равно действительному числу – квадрату радиуса данной окружности.
Если А лежит на Σ, то других общих точек у пучка таких окружностей нет. Действительно, если бы была еще одна точка, не лежащая на Σ, то по теореме была бы к тому же общей и не совпадающая с ней точка, не лежащая на окружности, то есть не совпадающая с А. Тогда у окружностей три общих точки и они все совпадут, что невозможно. Если же еще одна общая точка $IMAGE63$ окружностей лежит на Σ, то можно поступить так. Точка А лежит на Σ, поэтому $IMAGE64$ или $IMAGE65$. Но мы всегда можем перенаправить действительную ось в противоположную сторону, поэтому будем считать, что $IMAGE64$. Тогда из верного равенства $IMAGE52$ получаем, что $IMAGE68$. Так как В лежит на w, то верно $IMAGE69$, но В лежит и на Σ, тогда последнее равенство запишется как $IMAGE70$. Получаем систему $IMAGE71$ Û $IMAGE72$ Û $IMAGE73$.
Так как $IMAGE74$, то и левая часть первого условия не должна равняться нулю. Значит, из первого условия можно смело находить центр w. Но тогда все окружности пучка совпадут, так как радиус окружностей находится как расстояние $IMAGE75$, что невозможно.
Также заметим, что и в этом случае квадрат расстояния от точки А до центра окружности равен квадрату радиуса данной окружности.
Теперь становится естественным следующее определение:
Определение 4. Точка А называется симметричной точке В относительно окружности Σ, если каждая окружность, проходящая через А и перпендикулярная Σ, проходит через точку В.
Для каждой точки А существует только одна ей симметричная. Причем, очевидно, что если А лежит на Σ, то у нее нет отличных от нее симметричных точек, она симметрична сама себе. Также очевидно, что если А совпадает с центром окружности симметрии, то у нее нет симметричной ей точки.
Еще ясно