Содержание
Введение
Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле
Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда
Заключение
Список используемой литературы
Введение В данной работе мы рассмотрим теорему о представлении дзета-функции Дедекинда в виде произведения L-функций и пример приложения этой теоремы к выводу функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.
Определим некоторые понятия. Пусть k - конечное расширение поля Q, a - некоторый главный идеал поля k. Рассмотрим его разложение на простые идеалы
где для почти всех p.
Через N (a) обозначим абсолютную норму идеала a, т.е. Определим дзета-функцию Дедекинда :
$IMAGE6$ $IMAGE7$
Кроме того каждому характеру сопоставим L-ряд
$IMAGE8$
Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле
Докажем следующую теорему
Теорема. Пусть K - конечное абелево расширение поля k; тогда
$IMAGE9$
где произведение справа распространяется на все примитивные характеры, согласованные с характерами группы классов $IMAGE10$ где S - исключительное множество в k, $IMAGE11$ - группа всех идеалов поля k, взаимно простых с S, $IMAGE12$ - подгруппа конечного индекса, образованная теми элементами из $IMAGE13$, которые содержат нормы относительно k идеалов из K, взаимно простых с S, $IMAGE13$ - подгруппа в подгруппе главных идеалов в $IMAGE11$, состоящая из таких главных идеалов $IMAGE16$, для которых $IMAGE17$и $IMAGE18$
Доказательство проводится в терминах локальных множителей, причем мы рассмотрим по отдельности неразветвленный и разветвленный случаи.
1. Пусть p - неразветвленный простой идеал из k, т.е.
$IMAGE19$
где $IMAGE20$ - различные простые идеалы в K. Согласно теории полей классов,
$IMAGE21$ где $IMAGE22$
Поэтому соответствующий локальный множитель слева равен
$IMAGE23$
в то время как соответствующий локальный множитель справа равен
$IMAGE24$
Ввиду того, что f - наименьшее положительное число такое, что $IMAGE25$ для всех $IMAGE26$, имеет место следующее легко проверяемое тождество
$IMAGE27$
отсюда, если положить $IMAGE28$, следует нужное равенство.
2. Доказательство для разветвленных простых идеалов сложнее и использует функциональные уравнения, которым удовлетворяют различные L-функции. Начнем с равенства
$IMAGE29$
и докажем, что функция $IMAGE30$тождественно равна единице. $IMAGE30$равна произведению конечного числа выражений вида
$IMAGE32$
соответствующих разветвленным идеалам p.
теорема дзета функция дедекинд
Если это произведение непостоянно, оно имеет полюс или нуль в некоторой чисто мнимой точке $IMAGE33$, где $IMAGE34$. В силу функционального уравнения $IMAGE35$представляет собой отношение гамма-функций и, следовательно, имеет только вещественные нули и полюсы. Поэтому $IMAGE36$, также является полюсом или нулем функции g. Мы знаем, однако, что $IMAGE36$ не является нулем или полюсом ни для L-рядов, ни для функций $IMAGE38$. Следовательно, g постоянна, а именно равна 1.
Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда Пусть k=Q, K=Q ( $IMAGE39$), где $IMAGE39$ - первообразный корень из 1 степени m, $IMAGE41$. Тогда
$IMAGE42$ (1)
где $IMAGE43$ - дзета-функция Римана, $IMAGE44$ - L-функция Дирихле, произведение справа распространяется на все неглавные рациональные характеры по модулю m.
Выведем функциональное уравнение $IMAGE38$
Воспользуемся функциональным уравнением для $IMAGE44$:
$IMAGE47$,
где $IMAGE48$сумма Гаусса. Воспользуемся (1), получим
$IMAGE49$,
$IMAGE50$,
используя свойство сумм Гаусса, получим
$IMAGE51$,
$IMAGE52$.
Пусть для любого вещественного характера $IMAGE53$, тогда
$IMAGE54$,
$IMAGE55$.
Известно, что для каждого комплексного характера существует сопряжённый, тогда получим
$IMAGE56$,
$IMAGE57$,
$IMAGE58$,
$IMAGE59$.
Используя функциональное уравнение для дзета-функции Римана:
$IMAGE60$
получим
$IMAGE61$
$IMAGE62$
где D - дискриминант поля K.
Таким образом мы получили функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда в случае, когда k=Q, K=Q ( $IMAGE39$).
Заключение В данной работе мы доказали теорему о представлении дзета-функции Дедекинда в виде произведения L-функций и с помощью этой теоремы вывели функциональное уравнение дзета-функции Дедекинда в случае k=Q, K=Q ( $IMAGE39$), где $IMAGE39$ - первообразный корень из 1 степени m.
Список используемой литературы 1. Касселс Дж., Фрёлих А. Алгебраическая теория чисел. - М., "Мир", 1969, с.328 - 330