Численное решение уравнения Шредингера средствами Java
Содержание
Введение
1. Уравнение Шредингера и физический смысл его решений
1.1 Волновое уравнение Шредингера
1.2 Волновые функции в импульсном представлении
2. Методы численного решения нестационарного уравнения Шредингера
2.1 Метод конечных разностей для одномерного нестационарного уравнения Шредингера
2.2 Преобразование Фурье
2.3 Метод аппроксимации оператора эволюции (split-operator method)
3. Методы численного решения стационарного уравнения Шредингера
3.1 Метод Нумерова
4. Программная реализация численных методов средствами Java
4.1 Обзор языка программирования Java
4.2 Элементы программирования Java 2 используемые в работе
Заключение
Список использованных источников
Введение
Известно, что курс квантовой механики является одним из сложных для восприятия. Это связано не столько с новым и "необычным" математическим аппаратом, сколько прежде всего с трудностью осознания революционных, с позиции классической физики, идей, лежащих в основе квантовой механики и сложностью интерпретации результатов.
В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.
1. Уравнение Шредингера и физический смысл его решений
1.1 Волновое уравнение Шредингера
Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний квантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде
(1.1)
где Н — оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии, если он не зависит от времени. Вид оператора 
определяется свойствами системы. Для нерелятивистского движения частицы массы 
в потенциальном поле U(r) оператор действителен и представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергии частицы
(1.2)
Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор Гамильтона будет комплексным.
Хотя уравнение (1.1) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (1.1) часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (1.1) при известном виде оператора Н позволяет определить значение волновой функции $IMAGE6$в любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике.
Волновое уравнение Шредингера может быть получено на основании следующих формальных соображений. В классической механике известно, что если энергия задана как функция координат и импульсов
$IMAGE7$H $IMAGE8$,(1.3)
то переход к классическому уравнению Гамильтона—Якоби для функции действия S
$IMAGE9$H $IMAGE10$
можно получить из (1.3) формальным преобразованием
$IMAGE11$, $IMAGE12$
Таким же образом уравнение (1.1) получается из (1.3) при переходе от (1.3) к операторному уравнению путем формального преобразования
$IMAGE13$, $IMAGE14$(1.4)
если (1.3) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые после перехода к операторам (1.4) коммутируют между собой. Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию $IMAGE15$ операторов правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (1.1). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера является обобщением опытных данных. Оно не выводится в квантовой механике, так же как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике.
Легко убедиться, что уравнение (1.1) удовлетворяется при $IMAGE16$ волновой функцией
$IMAGE17$,
описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса. В общем случае справедливость уравнения (1.1) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения.
Покажем, что из уравнения (1.1) следует важное равенство
$IMAGE18$,(1.5)
указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени. Умножим слева (1.1) на функцию $IMAGE15$*, a уравнение, комплексно сопряженное к (1.1), на функцию $IMAGE15$ и вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда находим
$IMAGE21$,(1.6)
Интегрируя это соотношение по всем значениям переменных и учитывая самосопряженность оператора , получаем (1.5).
Если в соотношение (1.6) подставить явное выражение оператора Гамильтона (1.2) для движения частицы в потенциальном поле, то приходим к дифференциальному уравнению (уравнение непрерывности)
$IMAGE23$, (1.7)
где $IMAGE24$ $IMAGE25$ является плотностью вероятности, а вектор
$IMAGE26$(1.8)
можно назвать вектором плотности тока вероятности.
Комплексную волновую функцию $IMAGE15$ всегда можно представить в виде
$IMAGE28$
где $IMAGE29$ и $IMAGE30$— действительные функции времени и координат. Таким образом, плотность вероятности
$IMAGE31$,
а плотность тока вероятности
$IMAGE32$.(1.9)
Из (1.9) следует, что j = 0 для всех функций $IMAGE15$, у которых функция Ф не зависит от координат. В частности, j= 0 для всех действительных функций $IMAGE15$.
Решения уравнения Шредингера (1.1) в общем случае изображаются комплексными функциями. Использование комплексных функций весьма удобно, хотя и не необходимо. Вместо одной комплексной функции $IMAGE15$ состояние системы можно описать двумя вещественными функциями $IMAGE36$ и $IMAGE37$, удовлетворяющими двум связанным уравнениям. Например, если оператор Н — вещественный, то, подставив в (1.1) функцию $IMAGE38$ и отделив вещественную и мнимую части, получим систему двух уравнений
$IMAGE39$, $IMAGE40$,
при этом плотность вероятности и плотность тока вероятности примут вид
$IMAGE41$, $IMAGE42$. [1]
1.2 Волновые функции в импульсном представлении.
Фурье-образ $IMAGE43$ волновой функции $IMAGE44$ характеризует распределение импульсов в квантовом состоянии $IMAGE15$. Требуется вывести интегральное уравнение для $IMAGE43$ с Фурье-образом потенциала в качестве ядра.
Решение. Между функциями $IMAGE44$ и $IMAGE43$ имеются два взаимно обратных соотношения.
$IMAGE49$(2.1)
$IMAGE50$(2.2)
Если соотношение (2.1) использовать в качестве определения $IMAGE43$ и применить к нему операцию $IMAGE52$, то с учетом определения 3-мерной $IMAGE53$-функции,
$IMAGE54$,
в результате, как нетрудно убедиться, получится обратное соотношение (2.2). Аналогичные соображения использованы ниже при выводе соотношения (2.8).
Положим далее
$IMAGE55$,(2.3)
тогда для Фурье-образа потенциала будем иметь
$IMAGE56$(2.4)
Предполагая, что волновая функция $IMAGE44$ удовлетворяет уравнению Шредингера
$IMAGE58$(2.5)
Подставляя сюда вместо $IMAGE15$ и $IMAGE60$ соответственно выражения (2.1) и (2.3), получаем
$IMAGE61$
В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной $IMAGE62$ к интегрированию по переменной $IMAGE63$, а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством $IMAGE62$. Интеграл по $IMAGE62$ обращается в нуль при любом значении $IMAGE66$ лишь в том случае, когда само подынтегральное выражение равно нулю, но тогда
$IMAGE67$.(2.6)
Это и есть искомое интегральное уравнение с Фурье-образом потенциала $IMAGE68$ в качестве ядра. Конечно, интегральное уравнение (2.6) можно получить только при условии, что Фурье-образ потенциала (2.4) существует; для этого, например, потенциал $IMAGE69$ должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как $IMAGE70$, где $IMAGE71$.
Необходимо отметить, что из условия нормировки
$IMAGE72$ (2.7)
следует равенство
$IMAGE73$.(2.8)
Это можно показать, подставив в (2.7) выражение (2.1) для функции $IMAGE15$:
$IMAGE75$.
Если здесь сначала выполнить интегрирование по $IMAGE76$, то мы без труда получим соотношение (2.8).[2]
2. Методы численного решения нестационарного уравнения Шредингера
2.1 Метод конечных разностей для одномерного нестационарного уравнения Шредингера
В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.
Нестационарное уравнение Шредингера, определяющее эволюцию волновой функции во времени, представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка по времени и имеет следующий вид
$IMAGE77$(3.1)
где $IMAGE78$оператор полной энергии системы. Для одномерного случая
$IMAGE79$
Общее решение уравнения (1) формально можно записать в виде
$IMAGE80$(3.2)
где $IMAGE81$- волновая функция системы в момент времени $IMAGE82$
$IMAGE83$- оператор эволюции (пропагатор).
Особенностью выражения (3.2) является то, что в показателе экспоненты стоит оператор. Определить действие оператора эволюции на волновую функцию можно, например, разложив ее по собственным функциям оператора . Так, в случае дискретного спектра $IMAGE85$ выражение для волновой функции в произвольный момент времени имеет вид
$IMAGE86$ $IMAGE87$(3.3)
Аналогичное выражение может быть получено и для непрерывного спектра.
Разложение (3.3) удобно использовать в тех случаях, когда решения стационарного уравнения Шредингера для конкретной задачи являются известными. Но к сожалению круг таких задач очень ограничен. Большинство современных численных методов решения уравнения (3.1) основаны на использовании различных аппроксимаций оператора эволюции $IMAGE88$. Так, например, разложение оператора эволюции в ряд Тейлора с сохранением первых двух членов дает следующую схему
$IMAGE89$,(3.4)
здесь $IMAGE90$номер шага по времени. Существенным недостатком этого алгоритма является необходимость знать волновую функцию в моменты $IMAGE91$ и $IMAGE92$. Кроме того, для оценки действия оператора на функцию $IMAGE94$ нужно вычислять вторую производную по координате. Простейшая конечно-разностная аппроксимация второй производной
$IMAGE95$(3.5)
дает неудовлетворительный результат. (См. программный блок 1)[3]
2.2 Преобразование Фурье
Начнем с комплексного ряда Фурье
$IMAGE96$
$IMAGE97$
Рассмотрим случай L $IMAGE98$.Тогда сумму можно преобразовать в интеграл следующим образом: определим $IMAGE99$ и $IMAGE100$=g(y).Так как $IMAGE101$ возрастает каждый раз на единицу ,то
$IMAGE102$ $IMAGE86$где $IMAGE104$.
Таким образом, полученные выше формулы приобретают вид
$IMAGE105$ $IMAGE86$
$IMAGE107$ $IMAGE86$(4.1)
Величина $IMAGE109$называется преобразованием Фурье от $IMAGE110$ и наоборот. Положение множителя $IMAGE111$ довольно произвольно; часто величины $IMAGE112$ и $IMAGE113$ определяют более симметрично:
$IMAGE114$ $IMAGE86$
$IMAGE116$ $IMAGE86$ (4.2)
Выражения (4.1) или (4.2) можно скомбинировать следующим образом:
$IMAGE118$(4.3)
Равенство (4.3) удовлетворяется для любой функции $IMAGE119$ это позволяет сделать интересный вывод об интеграле $IMAGE120$ как функции $IMAGE121$. Он равен нулю всюду, кроме точки $IMAGE122$, а интеграл от него по любому промежутку ,включающему $IMAGE123$, равен единице, т.е. эта функция имеет бесконечно высокий и бесконечно узкий пик в точке $IMAGE122$.
Обычно определяют $IMAGE86$ $IMAGE126$ (Дирака) $IMAGE127$ следующим образом:
$IMAGE128$ $IMAGE129$
$IM