1. Прямоугольная трапеция с углом в 45о вращается вокруг прямой, содержащей большее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения, если основания трапеции равны 3 и 5. 2. В шар радиуса R вписан конус, у которого образующая составляет с плоскостью основания угол . 1) Найдите площадь боковой поверхности конуса. 2) Если = 30о, то найдите наибольшую возможную площадь сечения, проходящего через вершину конуса. 3*. Сфера x2 + y2 + (z – 1)2 = 4 пересекает оси координат в точках А, В и С; А ¬– точка пересечения с осью Оy, а С – с осью Оz (координаты этих точек положительны). Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью z=0.
Вариант 2.
1. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 90о. Диагональ сечения равна 10 и удалена от оси на расстояние, равное 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 2. В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60о. В эту пирамиду вписан шар радиуса R. 1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 2) Найдите длину окружности, по которой поверхность шара касается боковых граней пирамиды. 3*. Из точки М (-7; 3; -4) проведена касательная к сфере x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 27=0. Найдите длину касательной от точки М до точки касания.
Вариант 3.
1. Ромб АВСD со стороной а и углом А, равным 60о, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину С и перпендикулярной диагонали АС. Найдите площадь поверхности тела вращения. 2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, а боковые ребра наклонены к основанию под углом . 1) Найдите площадь описанной около пирамиды сферы. 2) Если = 30о, то найдите угол между радиусом сферы, проведенным в одну из вершин основания, и плоскостью основания. 3*. Сфера (x – 1)2 + y2 + z2 = 5 пересекает ось ординат в точке А (y<0). ¬Через точку М (1; 1; 0) проведена прямая, параллельная оси Oz и пересекающая сферу в точке В (z>0). Найдите угол между прямой АВ и плоскостью xOy.
Вариант 4.
1. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде длиной 3, которая стягивает дугу в 120о. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол в 45о. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 2. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно а. Боковые грани наклонены к основанию под углом 60о. 1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 2) Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, по которой сфера касается боковой поверхности пирамиды. 3*. Через точку М (4; 2; 8) проведена плоскость, которая параллельна оси Oz и составляет с плоскостями Oxz и Ozy угол в 45о. Найдите длину окружности, по которой сфера x2 + y2 + z2 = 25 пересекает эту плоскость.