Высшая математика / Лекция N 4. Непрерывные функции.
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ
Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.
Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.
Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.
Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x1 Î [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x1) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x2, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x1) ≤ f(x).
Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x2 и x2'.
Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.
Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.
Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать.
Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности:
Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение.
Рассмотрим два значения аргумента: исходное x0 и новое x. Разность x– x0 называется приращением аргумента x в точке x0 и обозначается Δx. Таким образом, Δx = x – x0 (приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что x=x0+Δx, т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке x0 значение функции было f(x0), то в новой точке x функция будет принимать значение f(x) = f(x0 +Δx).
Разность y – y0 = f(x) – f(x0) называется приращением функции y = f(x) в точке x0 и обозначается символом Δy. Таким образом, Δy = f(x) – f(x0) = f(x0 +Δx) - f(x0). (1)
Обычно исходное значение аргумента x0 считается фиксированным, а новое значение x – переменным. Тогда y0 = f(x0) оказывается постоянной, а y = f(x) – переменной. Приращения Δy и Δxтакже будут переменными и формула (1) показывает, что Dy является функцией переменной Δx.
Составим отношение приращения функции к приращению аргумента
Найдем предел этого отношения при Δx→0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке x0 и обозначают f '(x0). Итак,
.
Производной данной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.
Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках xможет принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x)
Производная обозначается символами f '(x),y ', . Конкретное значение производной при x = aобозначается f '(a) или y '|x=a.
Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.
Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило: Придать x приращение Δx и найти наращенное значение функции f(x + Δx). Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x). Составить отношение и найти предел этого отношения при Δx∞0.
б) f '(2) = 4 Используя определение найти производную функции в произвольной точке. .
МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t, где s – путь, пройденный к моменту времени t, v– скорость равномерного движения.
Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние sбудет зависеть от времени t, т.е. будет функцией времени.
Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s=s(t).
Отметим некоторый момент времени t0. К этому моменту точка прошла путь s=s(t0). Определим скорость vматериальной точки в момент времени t0.
Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t0+Δt. Ему соответствует пройденный путь s=s(t0+Δt). Тогда за промежуток времени Δt точка прошла путь Δs=s(t0+Δt)–s(t).
Рассмотрим отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени Δt. Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t0 (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени Δt.
Итак, скоростью движения в данный момент времени t0 (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t0 до t0+Δt, когда Δt→0:
,
т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.
Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М0 (см. рисунок).Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M0M. Если точка М начинает перемещаться по кривой, а точка М0 остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М0 с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М0Т, то прямая М0Т называется касательной к кривой в данной точке М0.
Т.о., касательной к кривой в данной точке М0 называется предельное положение секущей М0М, когда точка М стремится вдоль кривой к точке М0.
Рассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x) и соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х0 функция принимает значение y0=f(x0). Этим значениям x0 и y0 на кривой соответствует точка М0(x0; y0). Дадим аргументу x0 приращение Δх. Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y0+Δ y=f(x0–Δx). Получаем точку М(x0+Δx; y0+Δy). Проведем секущую М0М и обозначим через φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Составим отношение и заметим, что .
Если теперь Δx→0, то в силу непрерывности функции Δу→0, и поэтому точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М0. Тогда секущая М0М будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М0, а угол φ→α при Δx→0, где через α обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox. Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg α и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:
т.е. f '(x) = tg α .
Т.о., геометрически у '(x0) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x0, т.е. при данном значении аргумента x, производная равна тангенсуугла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М0 (x; y) с положительным направлением оси Ox.
Пример. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х2 в точке М(-1; 1).
Ранее мы уже видели, что (x2)' = 2х. Но угловой коэффициент касательной к кривой есть tg α = y'|x=-1 = – 2.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ
Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x0, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b).
Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.
Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x0, то она в этой точке непрерывна.
Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.
Доказательство. Если , то
,
где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0. Но тогда
Δy=f '(x0) Δx+αΔx=> Δy→0 при Δx→0, т.е f(x) – f(x0)→0 при x→x0, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x0. Что и требовалось доказать.
Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).
Рассмотрим на рисунке точки а, b, c.
В точке a при Δx→0 отношение не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Δx→0–0 и Δx→0+0). В точке A графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к1 и к2. Такой тип точек называют угловыми точками.
В точке b при Δx→0 отношение является знакопостоянной бесконечно большой величиной . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" cвертикальной касательной.
В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиесявертикальные касательные. Тип – "точка возврата" с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.
Примеры. Рассмотрим функцию y=|x|.Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к. .
Покажем, что она не имеет производной в этой точке.
Но тогда при Δx< 0 (т.е. при Δx стремящемся к 0 слева)
А при Δx > 0
Т.о., отношение при Δx→ 0 справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что отношение предела не имеет, т.е. производная функции y=|x| в точке x= 0 не существует. Геометрически это значит, что в точке x= 0 данная "кривая" не имеет определенной касательной (в этой точке их две).
Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Выясним, имеет ли эта функция производную при x= 0.
Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке x= 0. Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол p/2, т.е. совпадает с осью Oy.
