1)Условие: Прямоугольный треугольник ABC имеет периметр 54. Окружность радиуса 6, центр которой лежит на катете ВС, касается прямых АВ и АС. Найти площадь треугольника АВС
Пусть AC = AH = x, BH = y, BO = z. Тогда периметр треугольника равен 2x+y+z+6 = 54.
Выразим x, y и z через угол альфа (а):
Из прямоугольного треугольника AHO: x = 6/tg(a/2). Из прямоугольного треугольника BHO: y = 6*tg(a), z = 6/cos(a)
Тут удобно всё выразить через тангенс половинного угла: (1+(tg(a/2))^2)/(1-(tg(a/2))^2) + 2/tg(a/2) + 2*tg(a/2)/(1-(tg(a/2))^2) = 8.
Обозначим t = tg(a/2), получим (1+t^2)/(1-t^2)+2/t+2t/(1-t^2) = 8
Путём несложных преобразований приводим это к виду 9t^2 - 9t + 2 = 0
(1) t1 = 1/3 (2) t2 = 2/3
Выражаем обратно x и z (y нам в принципе уже не нужен, поскольку площадь треугольника будет равна половине произведения катетов, т.е. x*(z+6)/2. Хотя и y тоже по хорошему стоит вычислить и проверить, получается ли периметр равным 54).
Итак, для случая (1) имеем: z = 6/cos(a) = 6/((1-1/9)/(1+1/9)) = 7.5 x = 6/tg(a/2) = 6/(1/3) = 18. S = x*(z+6)/2 = 121.5
Для случая (2) имеем: z = 6/cos(a) = 6/((1-4/9)/(1+4/9)) = 15.6 x = 6/tg(a/2) = 6/(2/3) = 9. S = x*(z+6)/2 = 97.2 Ответ:121.5, 97.2
2)Условие: В угол, равный arccos(-1/9), вписана окружность радиуса 3. Параллельно хорде, соединяющей точки касания, проведены две касательные к окружности, в результате чего получилась трапеция. Найдите площадь этой трапеции.
Нас интересует площадь трапеции ABCD, Её высота равна 2R=6. Осталось только найти полусумму оснований (AB+CD)/2.
Из прямоугольного треугольника OLH найдем OH: OH = OL/sin(OHL). Для удобства обозначим угол OHL буквой "a".
По формуле косинуса двойного угла: cos(2a) = 1 - 2sin^2(a), откуда sin(a) = sqrt((1-cos(2a))/2) sin(a) = sqrt((1+1/9)/2) = sqrt(5)/3
Чтобы потом к этому не возвращаться, cos(a) = sqrt(1-5/9) = 2/3 tg(a) = sqrt(5)/3/2*3 = sqrt(5)/2.
3)Условие: Окружность с центром в точке О касается сторон АВ и ВС треугольника АВС в точке К и М соответственно так, что АК=5 см, СМ=7 см. При этом центр окружности лежит на стороне АС и делит ее в отношении 4:5. Найдите стороны АВ и ВС.
